Примеры 9.6

1. А ® (В ® А) º и для любых формул А, В.

2. A º л для любых формул А, В.

3. Формула

" x ₂, x ₃((x ₁ = x ₂ x ₃) ® (x ₁ = x ₂) v (x ₁ = x ₃) (9.2)

выполнима, но не истинна на алгебраической системе N (.; =). Легко видеть, что она зависит лишь от х ₁ и принимает истинное значение в том и только в том случае, когда значением переменной х ₁ является простое число.

Формула " x ₁, x ₂ (x ₁ x ₂ = x ₂ x ₁) выполнима, так как она выполнима, например, на системе N (.; =). Однако она не тождественно истинна, поскольку существуют некоммутативные системы с операцией умножения.

Пример 3 показывает, что формулами алгебры предикатов можно записывать те или иные свойства элементов алгебраических систем, или характеризовать те или иные подмножества ее основного множества или множества наборов ее элементов. Так формула (9.2) характеризует множество всех простых чисел. Формула $ x ₂(x ₁ x ₂ = x ₃) характеризует множество пар натуральных чисел, из которых первое делит второе, т.е. отношение делимости на N.

Пример 4 показывает, что формулы алгебры предикатов сигнатуры σ могут быть использованы для характеризации алгебраических систем сигнатуры σ. Формула из этого примера выделяет класс алгебраических систем с коммутативной операцией умножения, если под равенством = понимать отношение (предикат) совпадения элементов множества.

Дата добавления: 2014-12-29