Примеры. 1. Возьмем в качестве свойства Pi формулу x, y (xy = yx)

1. Возьмем в качестве свойства P_i формулу " x, y (xy = yx). Тогда группы типа Р — это в точности разрешимые группы ступени разрешимости n < k и потому получается теорема.

Теорема. Если каждая конечно порожденная подгруппа группы G разрешима ступени n < k, то и G — разрешимая группа ступени n < k.

2. Возьмем в качестве Р ₁ свойство: группа содержит не более n элементов, а в качестве Р ₂ — любую формулу, выводимую из А_gr. Тогда получится теорема.

Теорема. Если каждая конечно порожденная подгруппа группы G содержит нормальный делитель индекса k £ n, то G также содержит нормальный делитель индекса k £ n.

Таким образом, выбирая различные свойства P_i, мы будем получать различные утверждения о группах на основании свойств только конечно порожденных подгрупп.

Проиллюстрируем на примере еще один метод теории моделей для получения утверждений об алгебраических системах, называемый методом переноса.

Теорема 10.5. Если В — замкнутая формула в сигнатуре теории полей и В истинна на всех полях характеристики 0, то существует такое простое число р ₀, что В истинна на любом поле характеристики p > р ₀.

Доказательство. Действительно, если В истинна на всех полях характеристики 0, то В выводима из множества формул А_f È { : р = 2, 3, 5, …}. Однако в выводе формулы В используется лишь конечное множество аксиом вида :

, .

Тогда В выводима из систем аксиом А_f È T, и потому истинна на всех полях, кроме полей характеристики , и, в частности, всех полях характеристики p > р ₀.

Выбирая в качестве В различные формулы, мы будем получать различные конкретные утверждения. В частности, можем получить следующий интересный факт. Если система алгебраических уравнений

(10.2)

над кольцом Z не имеет решений в любом расширении поля рациональных чисел, то существует такое простое число р ₀, что при каждом простом p > р ₀ система уравнений, полученная заменой в (10.2) всех коэффициентов их вычетами по модулю р не имеет решений в любом поле характеристики р.

Дата добавления: 2014-12-29