Производная и дифференциал

Предел, к которому стремится отношение бесконечно малого приращения функции к бесконечно малому приращению аргумента , называется производной и обозначается следующим образом

.

Производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой в точке (рис.П1.9) Если , то при увеличении функция возрастает, если то при возрастании функция уменьшается.

В физике принято производные по времени обозначать символом соответствующей величины с точкой над ним, например,

, .

Дифференциалом функции называется произведение производной на приращение аргумента:

,

где - производная по .

Производную функции y по аргументу x бывает удобно обозначать через дифференциалы

.

Производная сложной функции равна производной по вспомогательной переменной, умноженной на производную этой переменной по аргументу

.

Дифференциал произведение двух функций равен сумме произведений каждой функции на дифференциал другой

.

Дифференцировал дроби:

.

Полный дифференциал функции нескольких переменных определяется по формуле

,

где - частные производные функции по соответствующим переменным. Для нахождения частной производной, например , достаточно найти обыкновенную производную переменной f, считая последнюю функцией одного аргумента x.

Таблица П1.1

Дата добавления: 2014-12-29