Решение. а) Выбираем систему отсчета x0y, показанную на рисунке

а) Выбираем систему отсчета x 0 y, показанную на рисунке. По своему характеру данное движение есть движение с постоянным ускорением Поэтому закон изменения скорости с течением времени имеет вид:

Найдем проекции вектора скорости на оси координат, спроектировав это уравнение на оси x и y:

Из связи между модулем вектора и его проекциями на декартовые оси получим:

б) Если b - угол между вектором скорости и горизонтальной осью в некоторый момент времени t ₁, то:

откуда следует:

в) Запишем закон движения тела в векторном виде, учтя, что в
начальный момент тело находилось в начале координат.

(1)

Здесь - радиус-вектор тела в момент времени t.

Спроектируем это уравнение на ось y:

(2)

Найдем время полета тела Т из условия, что в этот момент координата y = 0:

Один из корней полученного уравнения Т ₁ = 0 соответствует
начальному положению тела, другой корень дает время полета тела:

г) Спроектируем уравнение (1) на ось x:

Найдем дальность полета тела L из условия L = x (T):

(3)

Для того, чтобы определить максимальную высоту подъема Н, найдем время полета тела в наивысшую точку траектории из условия, что в этот момент времени Т¢ вектор скорости направлен горизонтально и, следовательно, проекция скорости на ось y v _y = 0, т.е.

откуда получим:

Очевидно, что

Заметим, что время подъема Т¢ равно половине времени полета Т. Следовательно, время подъема равно времени спуска.

д) Закон движения в координатной форме, определяемый соотношениями (2) и (3), по существу задает уравнение траектории через параметр t. Исключив этот параметр, получим уравнение траектории в явном виде:

(4)

Из (4) следует, что траектория тела, брошенного под углом к горизонту, представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (коэффициент при x ² отрицателен). Парабола проходит через начало координат (один из корней уравнения y (x) = 0 равен нулю).

2. Самолет летит на высоте h = 500 м по горизонтальной прямой со скоростью v₀ = 100 м/с. Летчик должен сбросить бомбу в цель, лежащую впереди самолета. Под каким углом a к вертикали он должен видеть цель в момент сбрасывания бомбы?

Решение. Движение бомбы можно рассматривать как наложение двух движений, одно из которых происходит по горизонтали с постоянной скоростью v₀, а другое представляет собой свободное падение с
нулевой начальной скоростью (см. рис.).

Искомый угол a определяется очевидным соотношением:

где l - дальность полета по горизонтали. Эта величина равна l = v₀ t, где t - время полета бомбы находится из условия

Следовательно,

и, наконец,

;

3. Под каким углом a к горизонту следует бросить камень со скоростью v₀ = 20 м/с, чтобы он пролетел по горизонтали до падения на землю расстояние ? Сопротивление воздуха пренебречь.

Решение. Запишем соотношение между дальностью полета L, начальной скоростью v₀, углом a и ускорением свободного падения g (см.(3) задачи 1 этого раздела):

Отсюда следует:

Здесь n – целые числа, значения которых найдем из очевидного условия:

Пусть n = 0. Тогда
При n = 1

При других значениях n угол a > 90°. Итак, искомые углы равны:

4. Камень бросили горизонтально с большой высоты со скоростью м/с. Определить через с:

а) скорость камня и модуль приращения вектора его скорости ;

б) модуль вектора перемещения камня.

Решение. а) В соответствии с выражением (1.12) скорость камня равна

,

где - ускорение свободного падения. Найдём построением скорость (см. рис.). Из полученного треугольника скоростей находим:

м/с.

По определению и м/с.

б) Вектор перемещения равен

,

где , а , а его модуль

м.

Задачи и упражнения

1.36. Из трех труб, расположенных на поверхности земли, с одинаковой по величине скоростью бьют струи воды: под углами a₁ = 60°, a₂ = 45° и a₃ = 30° к горизонту. Найти отношения наибольших высот подъема струй воды Н ₁: Н ₂: Н ₃, вытекающих из каждой трубы, и дальностей падения l ₁: l ₂: l ₃ воды на землю.

1.37. Камень, брошенный с поверхности земли под углом a = 60° к горизонту, упал на землю на расстоянии L = 20 м от точки бросания. С какой начальной скоростью был брошен камень?

1.38. Двое играют в мяч, бросая его друг другу. Какой наибольшей высоты достигает мяч во время игры, если он от одного игрока к другому летит t = 2 с?

1.39. Камень, брошенный с поверхности земли со скоростью v₀ = 20 м/с под некоторым углом к горизонту, достиг наибольшей высоты через t = 1 с. Под каким углом a к горизонту был брошен камень и на каком расстоянии L от точки бросания он упадет на землю?

1.40. С какой наименьшей скоростью v₀ должен бросить камень мальчик с берега реки шириной L = 12 м, чтобы перебросить его на другой берег, если он бросает этот камень на высоте h = 1 м от поверхности воды под углом a = 30° к горизонту?

1.41. Дальность полета тела, брошенного с некоторой высоты h в
горизонтальном направлении со скоростью v₀ = 10 м/с, в 2 раза больше высоты бросания h. С какой высоты h брошено тело?

1.42. Тело брошено с поверхности земли под углом a = 45° к горизонту. Во сколько раз дальность полета L больше максимальной высоты Н, на которую поднимется тело?

1.43. С башни высотой H = 60 м бросают горизонтально камень со скоростью v₀ = 20 м/с. Какой угол a будет составлять вектор скорости камня по отношению к горизонту в момент касания им земли?

1.44. Камень, брошенный горизонтально с высоты H = 5 м, упал на землю со скоростью, направленной под углом a = 60° к горизонту. Определить начальную скорость v₀ камня.

1.45. Снаряд вылетел со скоростью v₀ = 200 м/с под углом a = 60° к горизонту. Через какое минимальное время t вектор скорости снаряда будет составлять с горизонтом угол b = 45°?

1.46. Максимальная дальность прыжка лягушонка составляет L = 0,6 м. На какую максимальную высоту H он может подпрыгнуть, если будет прыгать вертикально вверх с той же начальной скоростью?

1.47. Футбольный мяч улетает от ноги футболиста со скоростью v₁ = 12 м/с под углом a = 30°к горизонту. С какой скоростью v₂ должен бежать навстречу мячу второй футболист, находящейся в момент удара на расстоянии L = 20 м от первого футболиста, чтобы успеть к моменту падения мяча на землю?

1.48. Камень брошен с поверхности земли под углом a = 60° к горизонту со скоростью v₀ = 10 м/с. Сколько времени t он находился на высоте, большей чем h = 2,5 м?

1.49. Два тела брошены из одной и той же точки: первое тело вертикально вверх со скоростью v₁ = 10м/с, второе под углом a = 30° к горизонту со скоростью v₂ = 20 м/с. Найти расстояние l ₁₂ между наивысшими точками траекторий этих тел.

1.50. На склоне горы с углом a = 30° бросают горизонтально камень со скоростью v = 8 м/с. На каком расстоянии l вдоль склона от места броска упадет камень?

1.51. Самолет совершает прямолинейный горизонтальный полет на высоте H = 1 км со скоростью v₁ = 900 км/ч. В момент, когда он находился над зенитной установкой, из нее был произведен выстрел. Чему равна минимальная начальная скорость v₂ снаряда, при которой цель может быть поражена?

1.52. С сосны высотой H = 19 м одновременно с выстрелом охотника падает без начальной скорости шишка. Под каким углом a к горизонту целился охотник, стоящий на расстоянии L = 30 м от дерева, если он попал в шишку? Рост охотника h = 170 см.

1.53. Мальчик, стоящий на расстоянии L = 4 м от вертикальной стенки, ударом ноги сообщает лежащему на земле мячу скорость v₀ = 12 м/с, направленную под углом a = 30° к горизонту. На каком расстоянии S за мальчиком упадет мяч после упругого удара о стенку?

1.54. Самолет летит по дуге окружности радиусом R = 1 км, сохраняя одну и ту же высоту H = 500 м. С интервалом времени t = 10p/3 с него сбрасывают два контейнера. На каком расстоянии S друг от друга упадут контейнеры на Землю, если скорость самолета v = 360 км/ч?

Относительность движения

Примеры решения задач

1. Мимо пристани проходит плот. В этот момент в поселок, находящийся на расстоянии s ₁ = 15 км от пристани, вниз по реке отправляется моторная лодка. Она дошла до поселка за время t = 3/4 ч и, повернув
обратно, встретила плот на расстоянии s ₂ = 9 км от поселка. Каковы скорость течения реки V и скорость лодки относительно воды v'?

Решение. Выберем систему отсчета, связанную с плотом (с водой). В этой системе отсчета плот покоится, а лодка движется вверх и вниз по реке с одинаковой по величине скоростью. Следовательно, время удаления лодки от плота равно времени приближения к нему. Поэтому время движения плота до встречи с лодкой равно 2 t и его скорость (скорость течения) равна

По закону сложения скоростей скорость лодки при ее движении вниз по реке относительно берега равна

v = v' + V.

С другой стороны

Cледовательно,

2. Скорость лодки в стоячей воде v' меньше скорости течения реки V в n = 2 раза. Под каким углом a к берегу нужно держать корпус лодки во время переправы, чтобы снос лодки был минимальным?

Решение. Если лодку направить по течению реки, то, очевидно, снос будет бесконечно большим (лодка никогда не переправится на противоположный берег).

Такой же результат получается в случае, если направить лодку вверх по течению реки. Значит, существует некоторое направление, при котором снос лодки минимален. Если - скорость лодки в стоячей воде, а - скорость течения реки, то скорость лодки относительно берега определится законом сложения скоростей:

.

Векторное сложение скоростей, соответствующее этому закону, показано на рисунке. Там же показаны система отсчета x 0 y, связанная с берегом, и угол a, определяющий направление вектора . Очевидно, что величина сноса лодки равна

s = v _х × t,

где v _x = V – v¢×cosa - проекция скорости на ось x, - время переправы. Здесь d - ширина реки, v _y - проекция скорости на ось y.

Запишем выражение для величины сноса в явном виде:

Минимум сноса соответствует минимуму выражения в скобках. Найдем угол a, при котором достигается этот минимум из условия, что производная по a от этого выражения должна равняться нулю в точке минимума. Дифференцирование дает:

Отсюда следует:

3. Приборы, установленные на корабле, идущем на север со скоростью V = 10 м/с, показывают скорость ветра v' = 5 м/с, а его направление - восточное. Что покажут аналогичные приборы, установленные на берегу?

Решение. По закону сложения скоростей скорость ветра относительно берега равна

Найдем эту скорость построением (см. рис.). Из рисунка следует:

4. Два корабля движутся перпендикулярными курсами с постоянными скоростями v₁ = 15 км/ч и v₂ = 20 км/ч. В некоторый момент времени они находятся на расстоянии S = 10 км друг от друга, а вектор скорости первого корабля составляет с линией, соединяющие корабли, угол a = 30°. На какое минимальное расстояние d корабли сблизятся при своем движении?

Решение. Положение кораблей в момент времени, соответствующий условию задачи, показано на верхнем рисунке. Рассмотрим движение кораблей в системе отсчета, связанной с первым кораблем (см. нижний рис.). В этой системе первый корабль покоится, а второй движется прямолинейно со скоростью , определяемой из закона сложения скоростей:

Искомое расстояние d - это расстояние от первого корабля до прямой линии, по которой движется второй корабль в системе отсчета, в которой первый корабль покоится. Из рисунка и элементарных геометрических соображений находим:

Следовательно,

5. Скорость лодки в стоячей воде , скорость течения реки v = 4 м/с, а ширина реки L = 360 м. Под каким углом a к берегу нужно держать нос лодки, чтобы переправиться на противоположный берег в кратчайшее время? Чему равно это время T _min? Какой путь S проплывет за это время лодка?

Решение. По закону сложения скоростей скорость лодки относительно берега равна

Движение лодки можно рассматривать как наложение двух движений, одно из которых происходит перпендикулярно берегу, а другое - по течению реки. Первое происходит со скоростью , а второе - со скоростью . Тогда время T переправы на противоположный берег

Это время будет минимально в том случае, когда проекция скорости на ось y, перпендикулярную к берегу, максимальна, т.е. равна . В этом случае скорость перпендикулярна берегу, т.е. a = 90°, а

Скорость лодки относительно берега Следовательно, за время T _min лодка пройдет путь

6. Два пешехода движутся к перекрёстку по дорогам, пересекающимися под прямым углом. Найти их относительную скорость , если скорость первого пешехода км/ч, а скорость второго - км/ч.

Решение. Изобразим на рисунке скорости пешеходов. По определению скорость первого пешехода относительно второго равна:

.

Найдем построением эту скорость (см. рис.).

Из рисунка видно, что

км/ч.

Задачи и упражнения

1.55. Гребец направляет лодку поперек реки, однако течение относит ее так, что она движется под углом a = 60° к берегу со скоростью v = 2 м/с. Определить скорость v₁ течения реки и скорость v₂ лодки в стоячей воде.

1.56. Из окна вагона, движущегося по горизонтальному прямолинейному участку с ускорением м/с², выпал небольшой предмет. Чему равны ускорения этого предмета относительно земли a ₁ и относительно вагона a ₂?

1.57. Автоколонна двигается со скоростью V₁ = 36 км/ч, растянувшись вдоль дороги на расстояние L = 600 м. Из хвоста колонны в голову посылается машина сопровождения, которая затем возвращается обратно. Сколько времени Т ушло на поездку, если скорость этой машины V₂ = 72 км/ч?

1.58. Какова скорость капель v отвесно падающего дождя, если
шофер легкового автомобиля заметил, что капли дождя не оставляют следа на заднем стекле, наклоненном вперед под углом a = 60° к горизонту, когда скорость автомобиля становится больше V = 30 км/ч?

1.59. Моторная лодка проходит расстояние между двумя пристанями на одном и том же берегу реки за время t ₁ = 1 ч, а плот проплывает то же расстояние за t ₂ = 4 ч. Сколько времени t ₃ затратит моторная лодка на обратный путь, если режим работы мотора останется прежним?

1.60. Два самолета летят горизонтально параллельно друг другу в противоположные стороны со скоростями v₁ = 120 м/с и v₂ = 130 м/с. В момент, когда оба самолета находятся на прямой, перпендикулярной
направлению их движения, с одного из них стреляют в другой. Под
каким углом a к этой прямой следует направить ствол пушки, чтобы
попасть в цель? Скорость снаряда относительно пушки считать постоянной и равной v' = 500 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.61. Водитель автомобиля, движущегося со скоростью v₁, начинает тормозить перед двигающимся впереди на расстоянии l = 25 м другим автомобилем, скорость которого равна v₂ = 40 км/ч. Определите максимально возможную скорость v₁, при которой еще можно избежать столкновения, если ускорение при торможении равно a = 2 м/с².

Ускорение при криволинейном движении.
Кинематика вращательного движения

Примеры решения задач

1. Точка движется по окружности радиусом R = 20 см с постоянным касательным ускорением a _t = 5 см/с². Через сколько времени t ₁ после начала движения нормальное ускорение a _n будет равно тангенциальному а _t?

Решение. Тангенциальное ускорение изменяет скорость по величине. Поэтому закон изменения скорости с течением времени имеет такой же вид, как и при движении по прямой линии:

v = a _t t. (1)

Нормальное же ускорение равно

(2)

Из (1) и (2) получим

По условию задачи в момент времени t ₁

a_n = a _t.

Поэтому откуда следует:

2. Маховик, совершавший n ₀ = 10 оборотов в секунду, стал вращаться равнозамедленно с момента, когда был выключен мотор, и остановился за t = 4 с. Сколько оборотов N сделал маховик за это время?

Решение. При равнозамедленном вращении маховика до остановки частота вращения убывает линейно от n ₀ до нуля. В этом случае среднее значение частоты равно среднему арифметическому значений на концах промежутка времени:

Следовательно, за время t = 4 с маховик сделает

3. Диск радиуса катится без проскальзывания с постоянной скоростью (см. рис.). Найти скорости точек в системе отсчета, связанной с землей. Чему равна угловая скорость вращения диска относительно оси диска?

Решение. Если диск движется без проскальзывания, то точки касания его с поверхностью должны иметь нулевую скорость. Следовательно, скорость точки относительно земли

. (1)

В системе отсчета, связанной с осью диска и движущейся поступательно со скоростью , движение диска представляет собой равномерное вращение вокруг его оси. В этой системе отсчета все точки на ободе, в том числе точки и , движутся по окружности с одинаковыми по величине скоростями. Найдем эти скорости из закона сложения скоростей и результата (1).

;

;

;

. (2)

Изобразим стрелками скорости в движущейся системе отсчета. Из связи между линейной и угловой скоростями получим:

. (3)

Для того, чтобы определить скорости точек и относительно земли, воспользуемся законом сложения скоростей. Так . Найдем построением:

Итак, .

Далее находим .

Из геометрического сложения векторов и видно, что . Аналогично найдем:

.

.

Теперь изобразим стрелками скорости и в системе отсчета, связанной с землей.

Из этого рисунка видно, что диск движется так, что он как будто вращается относительно оси, проходящей через точку , при этом ось вращения меняет свое положение с течением времени. Эта ось называется мгновенной осью вращения. Положение мгновенной оси вращения можно определить построением, если известны скорости каких-либо двух точек тела. Для этого надо из этих точек провести перпендикуляры к их скоростям. Точка пересечения этих перпендикуляров и определяет положение мгновенной оси вращения.

Используя понятие мгновенной оси вращения, можно существенно упростить решение некоторых задач. Так, в нашем случае, рассматривая движение диска как вращение вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через точку , и учитывая, что угловая скорость одинакова для всех точек, получим:

.

Отсюда следует:

.

4. Тонкий жесткий стержень движется по поверхности стола так, что в данный момент времени скорость его конца равна и направлена под углом к стержню. Определить скорость конца стержня, если известно, что вектор направлен под углом к стержню.

Решение. Найдем построением положение мгновенной оси вращения, учитывая, что эта ось проходит через точку пересечения перпендикуляров к векторам скоростей, проведенных из точек и (см. рис.).

Принимая во внимание, что в данный момент времени стержень вращается вокруг оси, проходящей через точку , и при этом угловая скорость одна и та же для любых точек стержня, в том числе для точек и , получим:

.

Отсюда следует:

.

Здесь и – расстояния от точек и до мгновенной оси вращения (см. рис.).

Отношение найдем из теоремы синусов для треугольника :

.

Следовательно, .

Замечание. Интересно отметить, что из полученного результата следует: . Это значит, что в данный момент времени проекции скоростей точек и , а также любой точки стержня на ось, совпадающую со стержнем, равны между собой, что является следствием жесткости стержня, то есть постоянства его длины.

5. Горизонтальную платформу перемещают с помощью круглых катков. На сколько сместится каждый каток, когда платформа передвинется на l ₁ = 10 см.

Решение. Распределение скоростей точек, находящихся на вертикали, проходящей через центр окружности, показано на рисунке. Оно получено из рассмотрения движения цилиндра как вращения вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через точку 0. Так, скорость центра катка

где v₁ - скорость верхней точки цилиндра, равная также скорости платформы. Следовательно, за одно и то же время перемещение катка в два раза меньше перемещения платформы

6. С колес грузовика, движущегося по проселочной дороге со скоростью км/ч, срываются комки грязи. Диаметр колес автомобиля, вращающихся без проскальзывания см. На какую максимальную высоту над дорогой поднимется тот комок грязи, который оторвался от точки внешней поверхности покрышки колеса, находящийся на высоте см над дорогой?

Решение. В системе отсчета, связанной с грузовиком, движение колеса является вращательным. При этом из отсутствия проскальзывания следует, что скорости точек на ободе в этой системе отсчета равны скорости автомобиля (см. решение задачи 3 этого раздела) и направлены по касательным к окружности. С этой же скоростью и в том же направлении в рассматриваемой системе отсчета полетит комок грязи, оторвавшийся от покрышки колеса (см. рис.). Таким образом, задача сводится к задаче о движении тела, брошенного под углом к горизонту с начальной скоростью . Из рисунка видно, что искомая высота равна

,

где (см. решение задачи 1, стр.31).

Из геометрических условий (см. рис.) находим:

,

.

Окончательно получим:

м.

Заметим, что в системе отсчета, связанной с землей, комок грязи поднимется на такую же высоту, однако в этой системе отсчета начальная скорость и угол будут другими.

Задачи и упражнения

1.62. Чему равно центростремительное ускорение точек поверхности Земли на ее экваторе. Радиус Земли R _з = км.

1.63. Длина минутной стрелки башенных часов МГУ равна l = 4,5 м. С какой линейной скоростью v перемещается конец стрелки?

1.64. К барабану диаметром D = 0,5 м прикреплен трос. Через время t = 5 c после начала равномерного вращения барабана на него намоталось l = 10 м троса. Чему равна частота вращения n барабана?

1.65. На шкив радиусом см намотана нить, к свисающему концу которой прикреплен груз, движущийся из состояния покоя вниз с ускорением м/с². Определите частоту вращения через время с от начала движения.

1.66. Пропеллер самолета радиусом R = 1,5 м вращается при посадке с частотой n = 2×10³ мин^–1, посадочная скорость самолета относительно земли V = 45 м/с. Определить скорость точки v на конце пропеллера.

1.67. Бревно передвигают без проскальзывания по каткам диаметром d = 20 см со скоростью v₁ = 0,4 м/с. С какой скоростью v₂ перемещаются сами катки? Какова угловая скорость w их вращения вокруг оси симметрии?

1.68. Две параллельные рейки движутся в одну сторону с постоянными скоростями. Верхняя рейка со скоростью v₁ = 6 м/с, а нижняя - со скоростью v₂ = 4 м/с. Между рейками зажат диск радиуса R = 0,5 м, катящийся по рейкам без проскальзывания. Найти скорость его центра и угловую скорость вращения w.

1.69. Во сколько раз изменится линейная скорость при движении материальной точки по окружности, если угловую скорость увеличить в k = 2 раза, а расстояние от точки до оси вращения уменьшить в m = 4 раза?

1.70. Шарик, привязанный к легкой нерастяжимой нити длиной см, вращается в вертикальной плоскости. Когда шарик проходил нижнее положение, нить оборвалась и шарик упал на землю через время с на расстоянии м от места обрыва по горизонтали. Определите частоту вращения шарика в момент обрыва нити.

1.71. На гладком вращающемся диске радиусом см на расстоянии см от его оси закреплен маленький кубик. В какой-то момент времени кубик отрывается от диска. Определите, через какое время t кубик соскользнет с диска, если его частота вращения об/с.

1.72. Мальчик вращает камень, привязанный к нитке длиной l = 0,5 м, в вертикальной плоскости. На какую высоту H от уровня руки взлетел камень, если мальчик отпустил нить в тот момент, когда линейная скорость была направлена вертикально вверх, а частота вращения в этот момент была равна n = 3 об/с?

Контрольные вопросы

1. Зависит ли траектория движения тела от выбора системы отсчета, в которой рассматривается это движение?

2. Два тела движутся с одинаковыми ускорениями. Можно ли утверждать, что они движутся по одинаковым траекториям?

3. Зависит ли ускорение тела от выбора системы отсчета?

4. Может ли тело двигаться по криволинейной траектории без ускорения?

5. Может ли тело двигаться с постоянной по величине скоростью по криволинейной траектории?

Дата добавления: 2014-12-29