Решение

1) По условию .

Если , , то
.

Если , , то и . Кроме того, так как , то . Значит, . Следовательно, все числа в интервале являются решениями исходного неравенства.

Объединяя найденные множества решений, получаем ответ: .

2) Пусть и – первый член и разность прогрессии. Если и лежат в одном и том же из двух промежутков и , то в нем лежит и . Но тогда третий член прогрессии также будет решением заданного неравенства. Противоречие. Значит,

.

3) Требуется найти все значения , при которых эта система неравенств имеет решения относительно . Выпишем четыре неравенства относительно :

.

Систему этих линейных неравенств решим графическим способом. Построим прямые , , , , , .

На интервале прямая лежит ниже прямых и , а прямая лежит выше прямых и ,

4) Поэтому достаточно найти все значения , при которых решения имеет только одно неравенство . Прямые и пересекаются в точке и .

Ответ: .

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С5
	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) нахождение множества решений логарифмического неравенства; 2) запись условия задачи в виде неравенств относительно и ; 3) рассмотрение системы четырех двойных неравенств относительно ; 4) сведение к случаю одного двойного неравенства, его решение. Обоснованы все моменты решения: а) в шаге 1) преобразования обоснованы или ссылками на свойства логарифмов, или явными указаниями на равносильность этих преобразований; б) в шаге 2) принадлежность и обоснована ссылкой на то, что – не решение логарифмического уравнения; в) шаг 3) обоснован или верным построением графиков прямых, или алгебраической проверкой расположения прямых на интервале ; г) в шаге 4) имеется ссылка на достаточность рассмотрения только одного двойного неравенства; явно приведено решение неравенства . Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.
	Приведена верная последовательность всех шагов решения. В шаге 4) допустимо выписывание ответа со ссылкой только на графики. Обоснованы ключевые моменты а), б), в). Допустима 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка в шаге 4) в результате чего может быть получен неверный ответ.
	Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Верно выполнены шаги 1) и 2) решения, верно составлены все линейные неравенства относительно . Обоснованы ключевые моменты а) и б). Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено. Допустимы 1 – 2 негрубые ошибки в вычислениях или построениях графиков, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате может быть получен неверный ответ.
	Общая идея, ход решения верны, но решение, возможно, не завершено. Верно выполнен шаг 1) решения. Обоснован ключевой момент а). Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено, а обоснования ключевых моментов б) – г) отсутствуют. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ
	Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

Примечание

Данное программное обеспечение можно скачать из интернета по указанным адресам.

Сайт программы	http://www.dessci.com/en/
Прямой линк (30 дней бесплатно)	http://www.dessci.com/en/dl/MathType52Setup.exe

[1] Неточностью в обоснованиях является замена свойства на определение или на признак, или наоборот, а также неверные названия теорем или формул.

[2] Неточностью в обоснованиях является замена свойства на определение или на признак, или наоборот, а также неверные названия теорем или формул.

Дата добавления: 2015-01-03