Статический метод

ПРИМЕР

Рассмотрим замкнутую прямоугольную раму, нагруженную вертикальными q [0,5 P, Р ], V [0,5 P, Р ]и горизонтальными Т [ -Р, Р ] нагрузками, рис. 1 настоящего приложения (в квадратных скобках указаны пределы изменения каждой из действующих нагрузок во времени независимо друг от друга; Р - параметр нагрузки).

Рама является упрощенной моделью ячейки многоярусного каркаса, а при бесконечно жестком нижнем ригеле - одноэтажной рамы. Она подробно исследована Н.В. Корноуховым [19] для оценки устойчивости сложных стержневых систем и использована в п. 6.10* СНиП II-23-81* для определения свободных длин стоек многоэтажных рам. Таким образом, принятая расчетная схема отражает основные особенности целого класса сооружений.

Рис. 1. Расчетная схема рамы

Исходные данные. Рама выполнена из стали марки 18пс с расчетным сопротивлением R_y = 240 МПа.

Стойка из широкополочного двутавра № 20 Б3 имеет следующие геометрические характеристики: h = 202 мм; b = 100,4 мм; d = 5,6 мм; t = 9,6 мм; Н = 4 м; А = 3,06×10^-3 м², I_x = 2,15 × 10^-6 м⁴; W_x = 2,13×10^-4 м³; r_x = 8,39×10^-2 м.

Ригель из широкополочного двутавра № 20 Б* имеет следующие геометрические характеристики: h = 194 мм; b = 99,3 мм; d = 4,5 мм; t = 5,5 мм; L = 4 м; I_x = 1,3×10^-5 м⁴; W_x = 1,34×100^-4 м³; S_x = 7,58×10^-5 м³.

Нагрузки: q = l8,355 P, кН/м; T = 3,234 Р, кН; V = 204,93 Р, кН.

а) Расчет по СНиП П-23-81*

Отношение жесткостей на 1 м длины ригеля и стойки n равно:

Изгибающие моменты в угловых сечениях 1 и 7 будут следующими:

от вертикальной нагрузки q (рис. 2, а настоящего приложения):

, кН×м;

от горизонтальной нагрузки Т (рис. 2, б настоящего приложения):

кН×м.

Рис. 2. Эпюры изгибающих моментов

а - от вертикальной нагрузки; б - от горизонтальной нагрузки Т; в -от лишней неизвестной Х

Коэффициенты расчетной длины m стойки определим по формуле (70, б) СНиП П-23-81* при р = п= 0,624:

.

В соответствии с п. 5.27* СНиП II-23-81* определяем:

относительный эксцентриситет ;

отношение площади полки к площади стенки: A_f / A_w = 048;

коэффициент влияния формы сечения h = 1,51;

приведенный относительный эксцентриситет m_ef = mh = 2,40;

гибкость стойки l = 71,5;

условную гибкость .

По табл. 74 СНиП II-23-81* принимаем коэффициент снижения расчетных сопротивлений j_е = 0,329.

Из формулы (51) СНиП II-23-81* находим расчетное значение параметра нагрузки P_d:

.

б) Проверка области применения настоящих рекомендаций

Проверим условие (1):

.

Условие (1) выполнено, следовательно, раму можно рассчитывать на основе настоящего Пособия.

в) Вычисление параметра критической нагрузки P_е

Условие потери устойчивости рамы по антисимметричной форме имеет вид трансцендентного уравнения [19] - относительно параметра устойчивости v, равного

,

где - нормальная сила в стойке при Р = 1, равная

.

Первый (низший) корень трансцендентного уравнения при п = 0,624 равен v = 2,1. Соответствующее ему значение параметра критической нагрузки P_e будет равно

г) Определение параметра нагрузки краевой текучести материала Р_у

Согласно п. 5 настоящего приложения основной системой заданной свободной рамы будет соответствующая несвободная рама с фиктивной опорой от горизонтального смещения в уровне ригеля, которая полностью воспринимает горизонтальную нагрузку Т и не воспринимает вертикальную нагрузку q. Поэтому эпюра изгибающих моментов в основной системе рамы будет равна M_o = М_q (см. рис. 2, а настоящего приложения), а эпюра изгибающих моментов от лишней неизвестной z (горизонтального смещения рамы) будет равна М_z = М_r (см. рис. 2, б настоящего приложения).

Наиболее напряженным поперечным сечением, в котором возникает первый пластический шарнир, является правое опорное сечение ригеля. По формулам (10) и (9) настоящего приложения находим:

д) Определение параметра нагрузки пластической усталости P_a

Наибольший размах напряжений D s имеет место в крайнем внутреннем волокне концевого сечения правой стойки. В этом волокне наибольшее сжимающее напряжение s_тах имеет место при сочетании нагрузок q (P), V (P) и Т (Р), а наименьшее сжимающее (или наибольшее растягивающее) напряжение s_min - при сочетании нагрузок q (0,5 P), V (0,5 P) и Т (- Р). По формулам пп. 5 и 6 вычисляем:

кН×м;

кН×м;

кН×м;

кН×м;

м.

Согласно п. 6 настоящего приложения параметр нагрузки пластической усталости Р_a вычисляется при нормативных значениях нагрузок. Примем среднее значение коэффициента перегрузки k = 1,2.

.

е) Построение кривой предельного равновесия “в большом” Р_р = Р_р (h)

Для иллюстрации применим оба метода предельного равновесия: статический и кинематический. В силу симметрии рамы и нагрузки будем рассматривать только верхнюю половину рамы. В соответствии с эпюрами моментов M_q (рис. 2, а) и М_r (рис. 2, б) примем безразмерные координаты расчетных поперечных сечений i такими: 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 1,0.

Согласно п. 8 настоящего приложения задача формулируется следующим образом. Найти max h (или max Р_р) при выполнении ограничений:

Составляющие изгибающего момента в ригеле равны:

;

.

Эпюра остаточных моментов М_ri в ригеле постоянна (рис. 2, в) и равна

М_ri = M_r.

Максимальное значение поперечной силы Q_i имеет место у правой опоры ригеля в расчетном сечении i = 7 и равно

, кН.

Отношение среднего касательного напряжения к расчетному сопротивлению стали сдвигу R_s (R_s = 0,58 R_y согласно табл. 1* СНиП II-23-81*), равно:

Согласно п. 5.18 СНиП II-23-81* при значениях , чему соответствует , предельные изгибающие моменты М_pli (Р_р) во всех расчетных поперечных сечениях можно определять без учета поперечных сил по формулам (39) и (42) СНиП II-23-81*.

М_pli = W_pliR_y = 2 SR_y = 2 × 0,758 × 10⁴ × 2,4 × 10⁵ = 36,38 кН × м.

С учетом полученных выражений для моментов ограничения-неравенства для семи расчетных поперечных сечений будут такими:

1) М_r + 6,468 Р_рh £ 36,38 + 20,254 P_p;

2) М_r + 5,174 Р_рh £ 36,38 + 7,042 P_p;

3) М_r + 3,880 Р_рh £ 36,38 - 3,253 P_p;

4) М_r + 2,587 Р_рh £ 36,38 - 10,575 P_p;

5) М_r + 1,294 Р_рh £ 36,38 - 14,979 P_p;

6) М_r £ 36,38 - 16,446 P_p;

7) М_r - 6,468 Р_рh ³ -36,38 + 20,254 P_p.

Для примера определим координаты двух точек на кривой предельного равновесия “в большом” Р_p = P_p (h), приняв P_p = P_d = 1. Тогда система ограничений-неравенств становится линейной относительно двух варьируемых параметров M_r и h. В общем случае поставленная задача решается методами линейного программирования, например, симплекс-методом. В данном простом примере решение maxh = 4,631 получено “ручным” счетом. При этом четвертое и седьмое из ограничений переходят в строгие равенства, что соответствует образованию пластических шарниров в расчетных сечениях с координатами и .

Вторую точку на кривой предельного равновесия “в большом” найдем, приняв h = 1, тогда система ограничений-неравенств становится линейной относительно двух варьируемых параметров М_r и P_p. Максимальное значение параметра P_p, удовлетворяющее полученной системе ограничений-неравенств, будет равно тахР_р = 1,686. При этом шестое и седьмое из ограничений переходят в строгие равенства, что соответствует образованию пластических шарниров в расчетных поперечных сечениях с координатами и . Аналогичным путем можно определить координаты любой точки на кривой предельного равновесия “в большом”.

Дата добавления: 2014-12-26