Метода наименьших квадратов

Задача. Для заданного набора пар значений независимой переменной и функции определить наилучшие линейное приближение в виде прямой с уравнением у = ах + b и показательное приближение в виде линии с уравнением

у = b×a^x.

1. Запустите программу Excel (Пуск > Программы > Microsoft Excel) и откройте рабочую книгу book.xls, созданную ранее.

2. Щелчком на ярлычке выберите рабочий лист Обработка эксперимента.

3. Сделайте ячейку С1 текущей и щелкните на кнопке Изменить формулу в строке формул. Раскройте список на левом краю строки формул и выберите пункт Другие функции.

4. В окне мастера функций выберите категорию Ссылки и массивы и функцию ИНДЕКС. В новом диалоговом окне выберите первый вариант набора параметров.

5. Установите текстовый курсор в первое поле для ввода параметров в палитре формул и снова выберите пункт Другие функции в раскрывающемся списке в строке формул.

6. С помощью мастера функций выберите функцию ЛИНЕЙН категории Статистические.

7. В качестве первого параметра функции ЛИНЕЙН выберите диапазон, содержащий значения функции (столбец В).

8. В качестве второго параметра функции ЛИНЕЙН выберите диапазон, содержащий значения независимой переменной (столбец А).

9. Переместите текстовый курсор в строке формул, чтобы он стоял на имени функции ИНДЕКС. В качестве второго параметра функции ИНДЕКС задайте число 1. Щелкните на кнопке ОК на палитре формул.

Функция ЛИНЕЙН возвращает коэффициенты уравнения прямой в виде массива из двух элементов. С помощью функции ИНДЕКС выбирается нужный элемент.

10.Сделайте текущей ячейку D1. Повторите операции, описанные в пп. 3-9, чтобы в итоге в этой ячейке появилась формула: =ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(В1:В20;А1:А20);2). Ее можно ввести и вручную (посимвольно). Теперь в ячейках С1 и D1 вычислены, соответственно, коэффициенты а и и уравнения наилучшей прямой.

11.Сделайте текущей ячейку С2. Повторите операции, описанные в пп. 3-9, или введите вручную следующую формулу:

=ИНДЕКС(ЛГРФПРИБЛ(В1:В20;А1:А20);1).

12. Сделайте текущей ячейку D2. Повторите операции, описанные в пп. 3-9, или введите вручную следующую формулу:

=ИНДЕКС(ЛГРФПРИБЛ(В1:В20;А1:А20);2).

Теперь ячейки С2 и D2 содержат, соответственно, коэффициенты а и b уравнения наилучшего показательного приближения.

Для интерполяции или экстраполяции оптимальной кривой без явного определения ее параметров можно использовать функции ТЕНДЕНЦИЯ (для линейной зависимости) и РОСТ (для показательной зависимости).

13.Для построения наилучшей прямой другим способом дайте команду Сервис >
Анализ данных.

14.В списке Инструменты анализа выберите пункт Регрессия, после чего щелкните на кнопке ОК.

15.В поле Входной интервал Уукажите методом протягивания диапазон, содержащий значения функции (столбец В).

16.В поле Входной интервал X укажите методом протягивания диапазон, содержащий значения независимой переменной (столбец А).

17.Установите переключатель Новый рабочий лист и задайте для него имя Результат расчета.

18.Щелкните на кнопке ОК и по окончании расчета откройте рабочий лист Результат расчета. Убедитесь, что вычисленные коэффициенты (см. ячейки В17иВ18) совпали с полученными первым методом.

19.Сохраните рабочую книгу book.xls.

Мы научились анализировать с помощью программы Excel экспериментальные данные с использованием метода наименьших квадратов. Мы применили для вычислений разные средства программы Excel. Мы получили информацию, необходимую для построения графиков нужных приближений.

Упражнение 12.6. Применение таблиц подстановки

Задача. Построить графики функций, коэффициенты которых определены в предыдущем упражнении.

1. Запустите программу Excel (Пуск > Программы > Microsoft Excel) и откройте рабочую книгу book.xls.

2. Выберите щелчком на ярлычке рабочий лист Обработка эксперимента.

3. Так как программа Excel не позволяет непосредственно строить графики функций, заданных формулами, необходимо сначала табулировать формулу, то есть создать таблицу значений функций для заданных значений переменной. Сделайте текущей ячейку СЗ и занесите в нее значение 0. Эта ячейка будет использоваться как ячейка ввода, на которую будут ссылаться формулы.

4. Методом протягивания выделите значения в столбце А. Дайте команду Правка > Копировать, чтобы перенести эти данные в буфер обмена. Сделайте текущей ячейку F2 и дайте команду Правка > Вставить, чтобы скопировать заданные значения независимой переменной в столбец F, начиная со второй строки.

5. В ячейку G1 введите формулу =C3*$C$1+$D$1. Здесь СЗ — ячейка ввода, а в качестве других ссылок используются вычисленные методом наименьших квадратов коэффициенты уравнения прямой.

6. В ячейку Н1 введите формулу =$0$2*$С$2^ЛСЗ для вычисления значения показательной функции. В программе Excel можно табулировать несколько функций одной переменной в рамках единой операции.

7. Выделите прямоугольный диапазон, включающий столбцы F, G и Н и строки от строки 1, содержащей формулы, до последней строки с данными в столбце F.

8. Дайте команду Данные > Таблица подстановки. Выберите поле Подставлять значения по строкам в и щелкните на ячейке ввода СЗ.

9. Щелкните на кнопке ОК, чтобы заполнить пустые ячейки в столбцах G и Н выделенного диапазона значениями формул в ячейках первой строки для значений независимой переменной, выбранных из столбца F.

10.Переключитесь на рабочий лист Диаграмма1 (если используемое по умолчанию название листа с диаграммой было изменено, используйте свое название).

11.Щелкните на кнопке Мастер диаграмм на стандартной панели инструментов и пропустите первый этап щелчком на кнопке Далее.

12.Выберите вкладку Ряд и щелкните на кнопке Добавить. В поле Имя укажите: Наилучшая прямая. В поле Значения X укажите диапазон ячеек с данными в столбце F, а в поле Значения Y укажите диапазон ячеек в столбце G.

13.Еще раз щелкните на кнопке Добавить. В поле Имя укажите: Показательная функция. В поле Значения X укажите диапазон ячеек с данными в столбце F, а в поле Значения Y укажите диапазон ячеек в столбце Н.

14.Щелкните на кнопке Готово, чтобы перестроить диаграмму в соответствии с новыми настройками.

15.Сохраните рабочую книгу book.xls.

Мы научились создавать таблицу подстановки, содержащую значения заданных формул для нужных значений независимой переменной. Мы применили эту возможность программы Excel для построения графиков функций, заданных формулами. Мы также научились редактировать ранее построенную диаграмму, нанося на нее дополнительные графики.

Упражнение 12.7. Решение уравнений средствами

Дата добавления: 2014-12-26