КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Тема 4. Симплекс-метод с искусственным базисом
Для задачи, записанной в канонической форме задачи линейного программирования, можно непосредственно указать ее опорный план, если среди векторов Aj, компонентами которых служат коэффициенты при неизвестных в системе уравнений данной задачи, имеется m единичных. Однако для многих задач линейного программирования, записанных в канонической форме задачи линейного программирования и имеющих опорные планы, среди векторов Aj не всегда есть т единичных. Метод искусственного базиса применяется в тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный опорный план исходной задачи ЛП, записанной в канонической форме. Метод искусственного базиса заключается в применении правил симплекс-метода к так называемой М-задаче. Она получается из исходной добавлением к левой части системы уравнений в канонической форме исходной ЗЛП таких искусственных единичных векторов Pi, с соответствующими неотрицательными искусственными переменными si, чтобы вновь полученная матрица содержала систему единичных линейно-независимых векторов. В линейную форму исходной задачи добавляется в случае ее максимизации слагаемое, представляющее собой произведение числа (-М) на сумму искусственных переменных, где М — достаточно большое положительное число. Для сравнения оценок нужно помнить, что М — достаточно большое положительное число, поэтому из базиса будут выводиться в первую очередь искусственные переменные. В процессе решения М-задачи следует вычеркивать в симплекс-таблице искусственные векторы по мере их выхода из базиса. Если все искусственные векторы вышли из базиса, то получаем исходную задачу. Если оптимальное решение М-задачи содержит искусственные векторы или М-задача неразрешима, то исходная задача также неразрешима.
Пример 8. Рассмотрим ЗЛП вида: Целевая функция
при ограничениях Решить симплекс-методом. Решение: Задача была решена графическим методом в примере 4. Решим и сравним результаты. Приведем ЗЛП к канонической форме:
при ограничениях Среди векторов A1, A2, A3, A4, A5, A6 нет четырех единичных вектора, необходимых для перехода к решению задачи симплекс-методом. Поэтому в левые части 1-го и 2-го уравнений добавляем неотрицательные искусственные переменные s1 и s2, чтобы вновь полученная матрица A содержала систему единичных линейно-независимых векторов. Получаем следующую М-задачу:
при ограничениях Первоначальный опорный планХ=(0; 0; 0; 0; 6; 7; 4; 3), определяемый системой четырех единичных векторов P1, P2, A5 и A6. Искусственной переменной s1 соответствует единичный вектор P1, а переменной s1 вектор P2. Составляем симплексную таблицу:
Таблица 3.9
Как видно из табл. 3.9, план не оптимален, так как есть отрицательные оценки , самая наименьшая из которых 5M-2, так как под М понимается достаточно большое положительное число. Вектор P2 исключаем из базиса. Этот вектор не имеет смысла вводить ни в один из последующих базисов, поэтому в дальнейшем столбец данного вектора не заполняется. Рассчитываем оценки Qmin, и переходим к новому опорному плану и строим новую симплексную таблицу: Таблица 3.10
Из табл. 3.10 видно, что план не оптимален, одна отрицательная оценка и не искусственные векторы выведены из базиса. Рассчитываем оценки Qmin и переходим к новому опорному плану и строим новую симплексную таблицу:
Таблица 3.11
Так как все оценки неотрицательны, но искусственный вектор P1 не выведен из базиса, следовательно М-задача неразрешима, что означает, что исходная задача также неразрешима, что и было также получено при ее решении графическим методом в примере 4. Пример 9. Рассмотрим ЗЛП вида: Целевая функция
при ограничениях Решить симплекс-методом. Решение: В канонической форме записи целевая функция стремится к максимуму. Переход от минимуму к максимуму осуществляется по правилу: f1( ) = - f( ). А затем полученный максимум взять с противоположным знаком.
при ограничениях Первоначальный опорный планХ=(0; 0; 2; -4; 2), определяемый системой трех единичных векторов A3, A4 и A5 не являетсядопустимым решением, так как координата x4 =-4, что является недопустимым по условию неотрицательности переменных xj . Для того, чтобы первоначальный опорный план был допустимым решением, исистема ограничений содержала систему единичных векторов, сделаем следующие преобразования 2-го ограничения и целевой функции:
Первоначальный опорный планХ=(0; 0; 2; 0; 2; 4), определяемый системой трех единичных векторов A3, P1 и A5. Составляем симплексную таблицу:
Таблица 3.12
Значение f1( )=F0= -1·2+0·0=-2, полученный результат возьмем с противоволожным знаком f1( ) = - f( )=2- минимум функции иоптимальный план Х=(2; 0; 0; 0; 6). Пример 10. Рассмотрим ЗЛП вида: Целевая функция
при ограничениях Решить симплекс-методом. Решение: Приведем ЗЛП к канонической форме записи:
при ограничениях Составляем симплексные таблицы итераций: Таблица 3.13
Значение F0= 3·3+1·4=13, максимум функции иоптимальный план Х= (3; 4; 0; 0; 6).
Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 1198; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |