Основные понятия теории планирования экспериментов

В качестве модели эксперимента используется уже знакомая из параграфа 1.6.1 пособия учебника кибернетическая модель типа «черный ящик». В этой модели различают входные переменные x_i, i= 1,…, k и выходные y_j, j= 1,…, m. Каждая из переменных в проводимом эксперименте может быть либо фактором, либо реакцией – в зависимости от той роли, которая ей отводится. В компьютерных экспериментах факторявляется входной переменной, а реакция – выходной переменной.

Каждый фактор может принимать в ходе эксперимента одно из нескольких значений, соответствующих уровням. Фиксированная совокупность уровней факторов определяет одно из возможных состояний системы. Одновременно эта совокупность представляет собой условия проведения одного из возможных экспериментов.

Каждой фиксированной совокупности уровней факторов соответствует определенная точка в многомерном пространстве, называемом факторным пространством. Эксперименты могут быть реализованы не во всех точках факторного пространства, а только в точках, принадлежащих допустимой области.

Между уровнями факторов и реакцией системы существует связь, задаваемая соотношением

y_j=ψ_j(x₁,x₂,…x_k), j= 1,…, m.

Функция ψ_j, связывающая реакцию с факторами, называется функцией реакции. Геометрическая интерпретация, соответствующая функции реакции, представляет собой поверхность реакции.

Вид зависимостей ψ_j, j= 1,…, m исследователю заранее не известен, поэтому используются приближенные соотношения:

ỹ_j=φ_j(x₁,x₂,…x_k), j= 1,…, m.

Зависимости φ_j находятся по данным эксперимента, который необходимо провести таким образом, чтобы при минимальных затратах ресурсов, например, числа испытаний, изменяя по специально сформулированным правилам значения входных переменных, построить математическую модель системы и оценить ее характеристики.

Определим основные свойства факторов, используемых при планировании экспериментов. Факторы при проведении экспериментов могут быть управляемыми и неуправляемыми, наблюдаемыми и ненаблюдаемыми, изучаемыми и неизучаемыми, количественными и качественными, фиксированными и случайными.

Фактор называется управляемым, если его уровни целенаправленно задаются исследователем в процессе эксперимента. При компьютерной реализации модели исследователь принимает решения, управляя изменением различным факторов в допустимых пределах.

Фактор относится к наблюдаемым, если его значения измеряются и регистрируются. Как правило, в компьютерном эксперименте с моделью наблюдаемые факторы совпадают с управляемыми, поскольку неразумно и неудобно управлять фактором, не наблюдая его. В то же время неуправляемый фактор можно наблюдать. Например, при проектировании какой-либо конкретной системы невозможно управлять заданными случайным образом действиями внешней среды, но можно наблюдать их в ходе компьютерного эксперимента. Наблюдаемые неуправляемые факторыназываются сопутствующими. Обычно при компьютерном эксперименте с моделью общее число сопутствующих факторов велико, поэтому следует учитывать влияние лишь наиболее существенно воздействующих на реакцию, интересующую исследователя.

Фактор называется изучаемым, если он включен в модель для изучения свойств системы, а не для вспомогательных целей, например для увеличения точности эксперимента.

Фактор называется количественным, если его значениями являются числовые величины, влияющие на реакцию, а в противном случае фактор называется качественным. Например, в модели системы, формализуемой в виде системы массового обслуживания (СМО), количественными факторами являются интенсивности входящих потоков заявок, интенсивности потоков обслуживания, емкости накопителей, количество обслуживающих каналов и т.д., а качественными факторами служат дисциплины постановки в очередь, выбора из очереди, обслуживания заявок каналами и т.д. Качественным факторам, в отличие от количественных, не соответствует числовая шкала. Тем не менее, и для них можно построить более слабую условную порядковую шкалу, с помощью которой можно упорядочивать факторы путем установления соот­ветствия между условиями качественного фактора и числами натурального ряда.

Фактор называется фиксированным, если в эксперименте иссле­дуются все интересующие экспериментатора значения фактора. Если же эксп­ериментатор исследует только некоторую случайную выбор­ку из совокупности интересующих значений факторов, то фактор называется случайным. С использованием случайных факторов можно сделать вероятностные выводы и о тех значениях факторов, которые в эксперименте не исследовались.

В компьютерных экспериментах с моделями не бывает неуправ­ляемых или ненаблюдаемых факторов применительно к исследу­емой системе. В качестве воздействий внешней среды, т. е. неуправляемых и ненаблюдаемых факторов, в компьютерной имитаци­онной модели выступают стохастические входные переменные. Если имитационная модель сформулирована, то все факторы определены, и во время проведения данного эксперимента с моделью дополнительные факторы вводить нельзя.

Каждый фактор может принимать в эксперименте одно или несколько значений, называемых уровнями, при­чем фактор будет управляемым, если его уровни целенаправленно выбираются экспериментатором. Для полного определения фак­тора необходимо указать последовательность операций, с помо­щью которых устанавливаются его конкретные уровни. Такое опре­деление фактора называется операциональным и обеспечивает одно­значность понимания фактора.

Основными требованиями, предъявляемыми к факторам, явля­ются требование управляемости фактора и требование непосредст­венного воздействия на объект. Под управляемостью фактора пони­мается возможность установки и поддержания выбранного нужного уровня фактора постоянным в течение всего испытания или изменя­ющимся в соответствии с заданной программой. Требование непо­средственного воздействия на объект имеет большое значение в свя­зи с тем, что трудно управлять фактором, если он является функци­ей других факторов.

При планировании эксперимента обычно одновременно изменя­ются несколько факторов. Основные требования, которые предъ­являются к совокупности факторов, – совмести­мость и независимость. Совместимость факторовозначает, что все их комбинации осуществимы, а независимостьсоответствует воз­можности установления фактора на любом уровне независимо от уровней других.

При проведении компьютерного эксперимента с моделью для оценки некоторых характеристик процесса функционирования исследуемой системы экспериментатор стремится создать такие условия, которые способствуют выявлению влияния факторов, на­ходящихся в функциональной связи с искомой характеристикой.

Для этого необходимо отобрать факторы х_i i = 1,2,…, k, влияющие на искомую характеристику, и описать функциональную зависимость; установить диапазон изменения факторов [ х_imin, х_imax ]; определить координаты точек { х₁, х₂,…, х_k } факторного пространства, в которых следует проводить эксперимент; оценить необходимое число реализаций и их порядок в эксперименте.

9.2. Модели планирования эксперимента

Наиболее широкое применение для планирования нашли модели в виде алгебраических многочленов. Рассмотрим влияние k количественных факторов х_i i = 1,2,…, k на некоторую реакцию в ограниченной [ х_imin, х_imax ], i= 1,2,…, k по условию проведения эксперимента локальной области факторного пространства G. На рис. 9.1 показан случай для k = 2.

Пусть функция реакции ψ(x₁,x₂,…x_k) может быть представлена с некоторой степенью точности полиномом степени d от k переменных факторов:

причем этот полином включает коэффициентов, где – число сочетаний из k+d элементов по d.

Рис. 9.1. Поверхность реакции Ψ(x₁,x₂)

Иначе данный полином можно представить в виде:

где – вектор с компонентами , входящими в исходный полином; – вектор коэффициентов. Таким образом,

Если ввести фиктивные переменные x₀= 1, а также

то можно записать функцию реакции в виде однородного линейного уравнения:

где

Для оценки коэффициентов данного уравнения можно использовать методы линейной регрессии.

Пример. Аппроксимация функции реакции с помощью полиномов второго порядка в однофакторной модели планирования имеет вид:

В случае использования более сложных объектов требуется применение полиномиальных моделей планирования более высокого порядка. Например, модель второго порядка в k -факторном эксперименте будет иметь вид:

На практике часто используют линейную модель планирования, преобразуя для этого исходные полиномиальные модели. Так, например, модель второго порядка

можно преобразовать к линейному виду путем введения фиктивных переменных x_ij=x_ix_j. В результате получается модель множественной линейной регрессии:

Функция реакции может зависеть от факторов и более сложным образом. Наиболее известны: мультипликативная, регрессионная, экспоненциальная и ряд других моделей, которые приводятся к линейному виду.

После выбора модели планирования и записи ее уравнения необходимо в отведенной для эксперимента области факторного пространства G спланировать и провести эксперимент, который позволит оценить числовые значения коэффициентов уравнения модели. Поскольку полином содержит коэффициентов, подлежащих определению, то план эксперимента D должен содержать не менее различных экспериментальных точек:

где x_ij – значения, которые принимает i -я переменная в j -м испытании,

Проведя испытания в N точках факторного пространства, принадлежащих области, отведенной для эксперимента, получим вектор наблюдения:

где y_j – реакция, соответствующая j- й точке плана

В предположении незначительного влиянии неуправляемых входных переменных и параметров по сравнению с вводимыми возмущениями управляемых переменных в планировании эксперимента может быть использована следующая модель:

где e_j – случайная ошибка испытания (шум, флуктуация), относительно которой действует предположение о нормальности распределения вероятности с нулевым математическим ожиданием M [ e_j ]=0 и постоянной дисперсией D [ e_j ]=σ _j ²= const.

Совокупность аналогичных соотношений для всех точек плана получим матрицу планирования размерностью N×(k′+ 1 ):

Рассмотрим этапы планирования эксперимента для случая линейной аппроксимации поверхности реакции. Вначале выбирается локальная область факторного пространства G, в которой будет проводиться эксперимент. Для этого, исходя из свойств исследуемого объекта, определяют верхние и нижние границы каждого фактора x_{i min} и x_{i max}. Например, такой параметр, как коэффициент передачи разомкнутой системы управления, с одной стороны, не может быть нулевым (это означает разрыв цепи), а с другой стороны, не может быть равным, а тем более превышающим критическое значение, связанное с границей устойчивости системы. Подобные ограничения обычно существуют и для других переменных, участвующих в эксперименте, таких как температура, давление, напряжение, сила тока, перемещение, скорость, ускорение и т.п.

Затем определяется локальная подобласть планирования эксперимента путем выбора основного уровня x_i0 и интервалов варьирования Δx_i, i= 1,…, k. В качестве исходной точки x_i0 выбирают точку, соответствующую наилучшим условиям, полученным с помощью анализа априорной информации о системе, причем эта точка не должна располагаться вблизи границ области определения факторов x_{i min} и x_{i max}. Интервалы варьирования Δx_i также не могут выбираться произвольно: снизу они ограничены величиной ошибки фиксирования уровня фактора, а сверху – условием, что и нижний, и верхний уровни фактора должны оставаться в пределах области определения G.

Далее в рамках выбранной модели планирования, представляющей собой алгебраические полиномы, строится план эксперимента путем варьирования каждого из факторов x_i, i= 1,…, k на нескольких уровнях q относительно исходной точки x_i0, представляющей центр эксперимента.

Дата добавления: 2014-12-27