А В А или В

А В А и В

А не А

да	нет
нет	да

Свойства отрицаний:

НЕ1: Отрицание ложно, если суждение истинно.

НЕ2: Отрицание истинно, если суждение ложно.

Для понимания отрицаний важно уметь выражать их в позитивной форме. Приведем примеры отрицания математических неравенств и их позитивные переформулировки:

не (х = 0) º (х ¹ 0)

не (х ¹ 0) º (х = 0)

не (х > 0) º (х £ 0)

не (х < 0) º (х ³ 0)

не (х ³ 0) º (х < 0)

не (х £ 0) º (х > 0)

Свойства отрицаний, записанные в таблицу истинностности, могут быть описаны как факты на языке Пролог:

не (да, нет);

не (нет, да);

После ввода этих фактов в ЭВМ с помощью запросов можно перепроверить свойства отрицаний:

? не (А, нет)

А = да

? не (А, да)

А = нет

Логическая связка и в математической логике называется конъюнкцией. Таблица истинности конъюнкции:

да	да	да
да	нет	нет
нет	да	нет
нет	нет	нет

Свойства конъюнкции:

И1: Конъюнкция А и В истинна, когда истинны оба суждения.

И 2: Конъюнкция А и В ложна, когда ложно хотя бы одно из суждений А или В.

Логическая связка или в математической логике называется дизъюнкцией. Таблица истинности дизъюнкции:

да	да	да
да	нет	да
нет	да	да
нет	нет	нет

Свойства дизъюнкции:

ИЛИ1: Дизъюнкция А или В истинна, когда истинно любое из суждений А или В.

ИЛИ2: Дизъюнкция А или В ложна, когда ложны оба суждения А и В.

Свойства конъюнкции и дизъюнкции также можно описать в виде фактов на языке Пролог:

Дизъюнкция:Конъюнкция:

или (да, да, да); и2 (да, да, да);

или (да, нет, да); и2 (да, нет, нет);

или (нет, да, да); и2 (нет, да, нет);

или (нет, нет, нет); и2 (нет, нет, нет);

Опираясь на эти факты можно получить ответы на вопросы о свойствах дизъюнкции и конъюнкции с помощью ЭВМ:

? или (А, В, нет)? и 2 (А, В, да)

А = нет В = нет А = да В = да

? или (А, В, да)? и 2 (А, В, нет)

А = да В = да А = да В = нет

А = да В = нет А = нет В = да

А = нет В = да А = нет В = нет

Одной из важнейших логических связок математической логики является импликация А ® В. Эта связка в математической логике используется для определения правил логического вывода.

Импликация А ® В - это логическое следование. Импликация А ® В читается: «если А, то В». Первое суждение в импликации называется посылкой, а второе суждение - следствием.

Приведем примеры правил логического вывода:

а) с использованием высказываний:

если «на улице дождь», то «на улице мокро»,

б) с использованием предикатов:

любит (х, конфеты) ® сластена (х).

Таблица истинности импликации:

А В А ® В

да	да	да
да	нет	нет
нет	да	да
нет	нет	да

Свойства импликации:

П1: «Импликация А ® В ложна,

когда посылка А истинна, а следствие В - ложно».

П2: «Импликация А ® В истинна,

когда истинно следствие либо ложны и посылка и следствие».

В языке Пролог импликации используются для описания правил вывода и определения новых логических понятий. Например, понятие «сластена» в языке.Пролог описывается следующим образом:

сластена (х) любит (х, конфеты);

Описание этого правила позволяет вводить в ЭВМ вопросы о «сластенах» и получать осмысленные ответы, исходя из сведений, хранящихся в базе данных:

? сластена (х) - Кто сластена?

х = Маша

С помощью таблиц истинности могут быть описаны и проверены свойства любых сложносоставных высказываний. Соответственно с помощью этих таблиц на ЭВМ средствами языка Пролог могут быть проверены любые сложносоставные высказывания и законы исчисления высказываний.

Задача 1. Проверьте закон двойного отрицания в исчислении высказываний

не (не А) º А

Р е ш е н и е. Рассмотрим объединенную таблицу истинности высказываний

А не А не (неА)

да	нет	да
нет	да	нет

Сравнение крайних столбцов показывает, что всюду, где высказывание А истинно, там же истинно и двойное отрицание не (не А). И наоборот, всюду, где ложно А, там ложно и двойное отрицание не (не А). Следовательно, двойное отрицание тождественно исходному высказыванию: не (не А) º А.

Задача 2. Сравните с помощью таблиц истинности отрицание дизъюнкции и отрицание конъюнкции не (А и В) и не (А или В).

Р е ш е н и е.

АВА и В не ( А и В ) А или В не ( А или В )

да	да	да	нет	да	нет
да	нет	нет	да	да	нет
нет	да	нет	да	да	нет
нет	нет	нет	да	нет	да

Дата добавления: 2014-12-27