Теорема о достаточном условии сходимости

Разложение функции в ряд Тейлора.

Дифференцируемую функцию y(x) можно представить в окрестности точки в виде ряда Тейлора – степенного ряда, расположенного по степеням :

.

Коэффициенты перед степенями (x - x 0) называются коэффициентами Тейлора.

Поскольку ряд Тейлора является степенным рядом, то по следствию из теоремы Абеля

существует радиус сходимости ряда R и интервал сходимости (x₀ – R, x₀ + R), внутри которого ряд Тейлора сходится к непрерывной функции и внутри которого его можно дифференцировать и интегрировать.

Возникает вопрос, совпадает ли сумма ряда Тейлора с исходной функцией f (x).

Пусть функция f (x) имеет производные всех порядков на промежутке [ a, b ] и пусть все

производные на промежутке [ a, b ] ограничены, т.е. не превосходят по абсолютной величине некоторое число М. Тогда, в каждой точке х из промежутка [ a, b ] функция

f (x) равна сумме ряда Тейлора для функции f (x), составленного в окрестности любой точки x 0 из промежутка [ a, b ].

Дата добавления: 2015-03-29