ТЕМА 3. Числовые последовательности

ТЕМА 2. Числа

ТЕМА 1. Элементы теории множеств

Логическое строение математики. Неопределяемые (первичные) понятия. Система аксиом. Определения. Теоремы (леммы, следствия). Логическая структура теоремы. Прямая и обратная теоремы. Необходимость и достаточность.

Понятие множества, элемента множества. Пустое множество. подмножество. Равенство множеств. Операции над множествами: пересечение, объединение, разность, декартовое произведение. Отношение. Отображение. Композиция отображений. Отображение множеств (функция): однозначное, многозначное, взаимно однозначное отображения, суперпозиция отображений.

Сравнение множеств. Конечные и бесконечные множества. Равномощные множества. Счетные множества (счетность множества рациональных чисел), множества мощности континуума (примеры).

Действительные числа и их множества. Структура множества действительных чисел: натуральный ряд, целые, рациональные, иррациональные числа. Аксиомы действительных чисел, определение действительных чисел. Расширенное множество действительных чисел. Подмножества множества действительных чисел: отрезок, интервал, полуинтервал, окрестность.

Ограниченные множества действительных чисел. Понятие наибольшего (наименьшего) элемента числового множества, грани множеств, точные грани множеств. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани.

Понятие числовой последовательности. Основные способы задания последовательностей. График последовательности. Операции над числовыми последовательностями.

Предел числовой последовательности, конечный и бесконечный, сходящаяся последовательность, предел справа (слева).

Свойства сходящихся последовательностей:

единственность предела,

ограниченные и неограниченные последовательности, ограниченность сходящейся последовательности,

арифметические свойства пределов: сумма (линейная комбинация), произведение и частное сходящихся последовательностей, условия применимости арифметических свойств, понятие неопределенности;

принцип двустороннего ограничения для последовательностей, переход к пределу в неравенствах.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Основные свойства бесконечно малых: сумма (линейная комбинация) бесконечно малых, произведение ограниченной на бесконечно малую, произведение бесконечно малых, частное ограниченной последовательности и бесконечно большой (бесконечно малой).

Понятие монотонной последовательности. Существование предела ограниченной монотонной последовательности. Число «е». Экономический смысл числа «е» и экспоненты. Лемма о вложенных сегментах.

Произвольные числовые последовательности. Подпоследовательности. Предельные точки. Верхний и нижний пределы последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности.

Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости последовательности.

Дата добавления: 2015-04-24