Уровень С

14.160. Чашка массой М стоит на вертикальной пружине жесткости k. С высоты h в чашку падает пластилиновый шарик массой m и прилипает к ней. На какую максимальную высоту от начального положения опустится при этом чашка?

14.161. Тело массой m совершает горизонтальные гармонические колебания на пружине жесткостью k с амплитудой А. Определить максимальную мощность, развиваемую силой упругости пружины.

14.162. Определить период гармонических колебаний систем, изображенных на рис. 13.1. Масса всех грузов равна m, жесткость всех пружин равна k. Пружины и блоки невесомые, нити невесомые и нерастяжимые, трения нет.

14.163.

Вообразим, что между двумя городами сквозь Землю прорыт прямолинейный тоннель, в котором проложены рельсы. Сколько времени будет двигаться вагон по этому тоннелю от одного города до другого, если его отпустить без начальной скорости? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

14.164. Два одинаковых горизонтальных цилиндрических валика быстро вращаются в противоположных направлениях. Расстояние между осями валиков равно l. На валики положили однородную доску, как показано на рисунке. Показать, что доска будет совершать гармонические колебания и найти их период, если коэффициент трения между доской и валиками равен m.

14.165. Тонкий обруч массой М и радиусом R может без трения вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр обруча. На обруче закреплен небольшой грузик массой m. Найти период малых колебаний обруча.

14.166. Колебания описываются уравнением: x(t) = 3sinwt + 4coswt (см). Являются ли эти колебания гармоническими и какова их амплитуда? (Колебания гармонические; А = 5 см)

14.167. Небольшой шарик массой m совершает колебания с амплитудой А на нити длиной l (А << l). На сколько изменяется сила натяжения нити в процессе колебаний?

14.168. Математический маятник совершает малые колебания в вертикальной плоскости на нити длиной l. На расстоянии x под точкой подвеса торчит гвоздь, на который натыкается нить маятника (рис. 13.2). Определить отношение углов наибольших отклонений нити маятника от вертикали влево и вправо.

14.169. Жидкость объемом V налита в U - образную трубку с площадью сечения S. Одно колено трубки вертикально, а другое наклонено к вертикали под углом a (рис. 13.3). Определить период колебаний жидкости в трубке. Вязкость не учитывать.

14.170. Период вертикальных колебаний груза 1 в представленной системе равен 0,3 с. Если систему перевернуть на 180º, то период колебаний груза 2 равен 0,4 с. Каким будет период горизонтальных колебаний системы, если положить ее на гладкий стол? (0,24 с)

14.171. На наклонной плоскости находится брусок, к которому на нити подвешена небольшая шайба (рис. 13.4). Шайба без трения совершает гармонические колебания с периодом Т₀. Каким будет период колебаний шайбы, если брусок отпустить? Угол наклона плоскости равен a, коэффициент трения между бруском и плоскостью равен m, масса бруска намного больше массы шайбы.

14.172. Система состоит из двух брусков массами m и 2m, между которыми пружина жесткости k. Систему поставили вертикально (рис. 13.5). При какой максимальной амплитуде колебания верхнего бруска массой m будут гармоническими?

14.173. Два тела массой m каждое связаны пружиной жесткости k и движутся со скоростью v по гладкой горизонтальной поверхности к стенке. В некоторый момент одно из тел находилось на расстоянии L от стенки (рис. 13.6). Через какое время оно опять будет находиться на расстоянии L от стенки? Начальных колебаний нет, столкновения со стенкой абсолютно упругие.

14.174. Два одинаковых маленьких шарика массой m каждый висят на двух одинаковых вертикальных нитях длиной l и связаны пружиной жесткости k. Шарикам сообщили одинаковые небольшие скорости навстречу друг другу. Определить период возникших малых колебаний.

14.175. Два грузика массами m₁ и m₂, связанные пружиной жесткости k, лежат на гладкой горизонтальной поверхности. Грузики развели в стороны и одновременно отпустили. Каков период колебаний такой системы?

14.176. Найти период малых колебаний системы, состоящей из жесткой невесомой штанги, верхний конец которой закреплен шарнирно, и двух грузов малых размеров массы m и М, закрепленных на штанге на расстояниях r и R от шарнира.

14.177. Маленькую бусинку повесили на невесомую пружину. При этом длина пружины стала равной L. По диаметру в бусинке сделан горизонтальный канал, в который вставили гладкую спицу. Спицу закрепили горизонтально так, что длина пружины осталась равной L. Найти период малых колебаний бусинки.

14.178. Один конец жесткой невесомой штанги длины L шарнирно закреплен в точке О, а к ее другому концу прикреплена пружина жесткости k. На расстоянии b от точки О на штанге закреплен небольшой по размерам груз массы m. В положении равновесия штанга горизонтальна, а ось пружины вертикальна. Найти период малых колебаний груза в вертикальной плоскости.

14.179. Брусок массой 250 г находится на гладком столе и соединен с вертикальной стеной двумя горизонтальными пружинами. Жесткость первой пружины 200 Н/м, а второй – 300 Н/м. Брусок сместили из положения равновесия. При этом первая пружина оказалась растянутой на 5 см, а вторая – сжатой на 2 см. Брусок отпустили. Найти амплитуду и период возникших колебаний. (3,2 см;» 0,14 с)

14.180. Система, состоящая из пружины, поршня и столба жидкости длиной L, выведена из положения равновесия и совершает малые незатухающие колебания. Найти массу поршня, если период этих колебаний Т, площадь сечения трубы S, плотность жидкости r, а жесткость пружины k.

14.181. Вдоль диаметра однородной планеты плотностью r пробурили сквозную шахту, в которую поместили гладкий стержень такой же плотности. Длина стержня равна диаметру планеты. Найти период малых колебаний стержня вдоль оси шахты.

14.182. Цилиндрический брусок (плотность r, площадь поперечного сечения S, высота h) помещен в жидкость (плотность r₀ > r) и через пружину жесткостью k прикреплен к неподвижной горизонтальной поверхности. В начальный момент пружина недеформирована. Найти период малых колебаний бруска.

14.183. Невесомая горизонтальная штанга длиной L одним концом закреплена шарнирно, а другим концом опирается на вертикальную пружину жесткостью k. На расстоянии х от шарнира на штанге закреплен груз массой m. Определить период малых вертикальных колебаний системы.

14.184. В сообщающиеся сосуды площадью поперечного сечения S₁ и S₂ налита жидкость плотностью ρ. Масса всей жидкости равна М. Пренебрегая поверхностным натяжением и вязкостью, найти период колебаний уровня жидкости в сосудах.

14.185. В закрепленной коробке находится пружина жесткостью 100 Н/м и брусок массой 100 г. Пружина одним концом прикреплена к правой стенке коробки, а к другому ее концу прикреплен брусок. В исходном состоянии пружина сжата на 1 см и брусок касается левой стенки коробки. Брусок смещают вправо на 2 см и отпускают. Через какое время брусок коснется стенки? Трения нет. (0,04 с)

14.186. На горизонтальной поверхности находится тележка массой М с установленным на ней математическим маятником массой m и длиной l. Каков период колебаний системы? Трения нет.

14.187. Грузик массой m подвешен к потолку на двух одинаковых пружинках жесткости k. Определите период малых вертикальных колебаний грузика, если в положении равновесия пружинки образуют правильный треугольник.

14.188. Маятник длиной 50 см колеблется в летящем самолете. Каков период его колебаний, если самолет свободно планирует под углом 15º к горизонту? (» 1,44 с)

14.189. Математический маятник установлен на тележке. Период колебаний маятника на неподвижной тележке равен Т₀. Каким будет период колебаний, если тележка начнет скатываться без трения с наклонной плоскости с углом наклона a?

14.190.

Определить период малых колебаний системы, изображенной на рис. 13.7.

14.191. Маятник представляет собой легкий жесткий стержень длиной l с грузом на конце. Стержень может вращаться вокруг оси, наклоненной к вертикали под углом a (рис. 13.8). Определить период малых колебаний маятника.

14.192. Легкий стержень АВ прикреплен шарнирно к стене и удерживается горизонтально вертикальной нитью СД длиной l. На конце стержня укреплен небольшой массивный шарик (рис. 13.9). Найти период малых колебаний системы.

14.193. Колебательная система представляет собой легкий стержень, на концах которого закреплены маленькие шарики массами m₁ и m₂. Стержень может без трения вращаться вокруг горизонтальной оси О, находящейся на расстояниях l₁ и l₂ от шариков (рис. 13.10). Найти период малых колебаний системы.

14.194. Невесомый стержень длиной l шарнирно подвешен к потолку. На конце и в середине стержня укреплены два одинаковых маленьких массивных шарика. Определить период малых колебаний стержня.

14.195. Груз, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен пружиной длиной l к вертикальной стене. Пружину разрезали на две части длиной l₁ и l₂ и соединили их с тем же грузом между двумя стенками (рис. 13.11). Найти период горизонтальных колебаний груза во втором случае, если в первом случае период был равен Т₀.

14.196. Груз массой m висит на легкой резинке жесткостью k. Груз оттянули вниз на D l и отпустили. Найти период возникших колебаний, если .

14.197. К маятнику АВ с шариком массой М подвешен маятник ВС с шариком массой m. Точка А совершает горизонтальные колебания с периодом Т. Найти длину нити ВС, если нить АВ все время остается вертикальной.

14.198. Точка совершает движение в плоскости X,Y по закону: x(t) = A×sinwt; y(t) = A×coswt. Что является траекторией движения точки? Определить ускорение точки. (Траекторией является окружность радиусом А; )

14.199. Материальная точка движется в плоскости X,Y по закону: x(t) = A×sinwt; y(t) = A×cos2wt. Что является траекторией движения точки?

14.200. Твердое тело совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси с периодом Т₀. Каким будет период колебаний тела, если при неизменной плотности все его линейные размеры увеличатся вдвое? ()

14.201. Однородный стержень массой m и длиной l, шарнирно подвешенный за один конец, совершает малые колебания с угловой амплитудой a. Чему равны период и полная энергия колебаний стержня? Трения нет.

14.202. Тело может без трения вращаться вокруг горизонтальной оси. Тело расположили так, что его центр масс оказался точно над осью и отпустили без начальной скорости. При этом тело прошло положение равновесия с угловой скоростью w. Найти период малых колебаний тела.

14.203. Два тела совершают малые колебания вокруг одной и той же оси с круговыми частотами w₁ и w₂. Моменты инерции тел относительно этой оси равны J₁ и J₂ соответственно. С какой частотой будут колебаться тела, если их соединить вместе?

14.204. Однородный тонкий стержень колеблется вокруг горизонтальной оси, проходящей через стержень и отстоящей от одного из его концов на расстояние x. При каком значении x период колебаний стержня будет наименьшим, если длина стержня равна L. Трения нет, колебания малые. (≈ 0,21L)

14.205. Тонкий обруч радиусом R повесили на вбитый в стену гвоздь (рис. 13.12). Найти период малых колебаний обруча. Проскальзывания нет.

14.206. Однородный цилиндр массой m и радиусом R колеблется на пружине жесткости k в горизонтальной плоскости (рис. 13.13). Найти период колебаний, если цилиндр не проскальзывает. При какой амплитуде колебаний начинается проскальзывание цилиндра, если коэффициент трения между цилиндром и плоскостью равен m?

14.207. Однородный цилиндр радиусом r катается по внутренней поверхности цилиндра радиусом R (рис. 13.14). Найти период малых колебаний. Проскальзывания нет.

14.208. Однородный стержень, висящий на двух одинаковых вертикальных нитях длиной l, повернули на малый угол вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, и отпустили (рис. 13.15). Каков период малых колебаний стержня?

14.209. Частица массой m находится в силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты по закону: W(x) = W₀(1 - cos a x). Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

14.210. На пружине висит груз массой 1 кг. Жесткость пружины такова, что сила упругости пропорциональна квадрату смещения: F = kx², причем k = 10³ Н/м. Чему равен период малых вертикальных колебаний груза? (0,44 с)

14.211. На пружине висит груз массой 1 кг. Жесткость пружины такова, что сила упругости пропорциональна кубу смещения: F = kx³, причем k = 10⁶ Н/м. Чему равен период малых вертикальных колебаний груза? (0,17 с)

Дата добавления: 2015-04-24