КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Дискретные случайные величины и их числовые характеристики
Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конечное или бесконечное счетное число (изолированных) значений. Например, можно рассмотреть случайную величину – число точек на грани игрального кубика, выпадающее при его подбрасывании [3]. Законом распределения дискретной случайной величины называется соотношение между ее возможными значениями и их вероятностями (т. е. вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти возможные значения). Закон распределения может быть задан формулой (формулы Бернулли, Пуассона и др.), таблицей или графиком, а также функцией распределения. Функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины называется функция
, определяющая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее .
Свойства функции распределения: а) функция распределения принимает значения только из отрезка [0,1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1; б) F(x) – неубывающая функция, т.е. если x2 > x1, то F(x2) > F(x1); в) F(- ∞) = 0; F(+ ∞) = 1; г) вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала (причем ), равна:
;
д) F(x) непрерывна слева, т. е. F(x) = F(x – 0)
Закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен в виде многоугольника распределения – фигуры, состоящей из точек , соединенных отрезками (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Многоугольники уни (моно)модального (а), полимодального (б) и антимодального (в) распределений
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется среднее значение данной случайной величины
,
т. е. математическое ожидание – это сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности .
Мода распределения – это значение СВ, имеющее наиболее вероятное значение. Если мода единственна, то распределение называется унимодальным (рис. 1.3, а), в противном случае – полимодальным (рис. 1.3, б) Если в середине диапазона изменения аргумента наблюдается минимум на графике многоугольника вероятностей, тогда распределение называется антимодальным (рис. 1.3, в).
Медиана – это значение случайной величины, которое делит таблицу распределения на две части таким образом, что вероятность попадания в одну из них равна 0,5
.
Медиана обычно не определяется для дискретной случайной величины. Величина , определяемая равенством , называется квантилью порядка . Соответственно квантиль порядка 0,5 является медианой. Свойства математического ожидания. а) , где ; б) ; в) ; г) если случайные величины и независимы, то .
Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания
, .
Дисперсия служит для характеристики рассеяния СВ относительно ее математического ожидания . Свойства дисперсии: а) , где ; б) ; в) , где – ковариация двух случайных величин и ; г) если и некоррелированы, то , тогда .
Средним квадратическим отклонением называется величина, которая имеет ту же размерность, что и СВ :
. При1. гипергеометрическом законе вероятность появления числа дефектных изделий в выборке с числом деталей описывается следующим выражением , (1.5) где - объем партии изделий; - число дефектных изделий в партии; - число сочетаний из по ; - число сочетаний из по ; - число сочетаний из по . Величины - постоянные, а является случайной переменной. 2.При гипергеометрический закон стремится к биномиальному закону, в соответствии с которым вероятность появления дефектных изделий (их количество - d) в выборке объемом составляет
, (1.6) где - число сочетаний из по ; - характеристика контролируемой партии. 3.При и биномиальный закон распределения совпадает с законом Пуассона. При этом вероятность появления дефектных изделий (их количество - ) в выборке объемом равно , (1.7) где - положительная величина, называемая параметром Пуассона.
1. Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями где . Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа X = m наступлений событий A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p. Математическое ожидание: . Дисперсия: . Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, при моделировании цен активов, в теории стрельбы и т.д.
2. Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона с параметром l > 0, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями Математическое ожидание: . Дисперсия: . При достаточно больших n () и малых значениях р () при условии, что произведение – постоянная величина (), закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона (закон массовых и редких событий). Кроме этого, по закону Пуассона распределены число сбоев на автоматической линии, число отказов сложной системы в «нормальном режиме», число «требований на обслуживание», поступивших в единицу времени в системах массового обслуживания и др. 4. Закон распределения Бернулли. Случайная величина , распределенная по закону Бернулли (индикаторная случайная величина), принимает значения: 1 – «успех» или 0 – «неудача» с вероятностями и соответственно
Математическое ожидание случайной величины : . Дисперсия: .
Дата добавления: 2015-04-30; Просмотров: 492; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |