Оценивание параметров распределений

2.1 Аналитические методы получения точечных оценок

Экспоненциальное распределение:

Распределение наработки до отказа примет вид:

;

Плотности вероятности отказов:

Таблица 6 - Экспоненциальное распределение

N
1	1	0	-	-	-	-
2	4	1,39	0,089	0,124	-0,42	-0,58
3	5	1,61	0,067	0,108	-0,47	-0,76
4	6	1,79	0,053	0,095	-0,46	-0,82
5	7	1,95	0,043	0,084	-0,43	-0,84
6	11	2,4	0,037	0,089	-0,41	-0,98
7	12	2,48	0,032	0,08	-0,38	-0,94
8	12	2,48	0,028	0,07	-0,36	-0,9
9	13	2,56	0,025	0,064	-0,34	-0,87
10	14	2,64	0,023	0,061	0,32	0,84
11	14	2,64	0,21	0,55	0,31	0,82
12	16	2,77	0,19	0,53	0,3	0,93
13	41	3,71	0,18	0,67	0,28	1,04
14	44	3,78	0,17	0,64	0,27	1,12
15	49	3,89	0,16	0,62	0,26	1,11
16	74	4,3	0,15	0,65	0,25	2,8
S=4,5	S=0,5

;

.

2.2 Графическое оценивание параметра экспоненциального распределения

Наносим точки с координатами на Рисунок 1 [1;6], [4;12,1], [5;18,2], [6;24,2], [7;30,3], [11;36,4], [12;42,4], [12;48,5], [13;54,5], [14;60,6], [14;66,7], [16;72,7], [41;78,8], [44;84,8], [49;90,9], [74;96,9] и проводим через них прямую. Абсцисса точки с ординатой 34,8 соответствует величине 9,2, тогда параметр:

Рисунок 1 - Графическое оценивание параметра экспоненциального распределения

2.3 Графическое оценивание параметров распределения Вейбулла

Для нахождения оценок параметров распределения воспользуемся вероятностной сеткой Рисунок 2.

На вероятностной сетке справа на оси ординат отложена шкала логарифмов накопленной частоты отказов.

Таблица 7 - Вычисления накопленной частоты

I	Ri	ti	1/ Ri	Li	ln Li
1	16	1	0,063	0,063	-2,76
2	15	4	0,067	0,13	-2,04
3	14	5	0,071	0,2	-1,61
4	13	6	0,077	0,28	-1,27
5	12	7	0,083	0,36	-1,02
6	11	11	0,091	0,45	-0,8
7	10	12	0,1	0,55	-0,6
8	9	12	0,11	0,66	-0,42
9	8	13	0,125	0,79	-0,24
10	7	14	0,143	0,94	-0,6
11	6	14	0,167	1,1	0,1
12	5	16	0,2	1,3	0,26
13	4	41	0,25	1,55	0,44
14	3	44	0,333	1,89	0,64
15	2	49	0,5	2,39	0,87
16	1	74	1	3,39	1,22

Наносим на вероятностную сетку точки с координатами [x=ti;y=lnLi] и проводим через них прямую.

Пересечение прямой с линией, проведенной параллельно оси абсцисс из точки с ординатой у=0, дает оценку параметра а: а=15.

Из точки А проводим луч параллельно построенной прямой до пересечения со шкалой b. Точка пересечения дает оценку параметра b=0,46.

Рисунок 2 - Графическое оценивание параметров распределения Вейбулла

2.4 Графическое оценивание параметров нормального распределения

По формуле находим значения F(x_i) и на Рисунок 3 наносим точки с координатами [x_i;100F(x_i)].

На Рисунок 3 наносим точки с координатами [1;3,5], [4;10], [5;16], [7;28], [11;35], [12;41], [12;47], [13;53], [14;59], [14;65], [16;72], [41;78], [44;84], [49;90], [74;96].

Так как через нанесенные точки возможно провести прямую, то делаем заключение, что данная выборка принадлежит к нормальному распределению.

Оценкой параметра нормального распределения является абсцисса точки на прямой с ординатой [100 F(x)=12 или [Uq=0] m=14.

Абсциссы точек на прямой с ординатами [Uq=+1] определяют параметр :

Рисунок 3 - Графическое оценивание параметров распределения Вейбулла

3 Оценивание показателей безотказности

Значения показателей безотказности, определяемые по результатам испытаний, являются оценками показателей надёжности.

За значения показателей надёжности принимают точечную оценку или границы доверительного интервала нижнюю (НДГ) и верхнюю (ВДГ) границы.

Вычисление точечных оценок и НДГ осуществляется по следующим формулам.

Экспоненциальное распределение:

Средняя наработка:

Нижняя доверительная граница средней наработки:

Гамма-процентная наработка:

Вероятность безотказной работы:

Интенсивность отказов:

Распределение Вейбулла:

Средняя наработка:

Нижняя доверительная граница средней наработки:

Гамма-процентная наработка:

Вероятность безотказной работы:

Интенсивность отказов:

Нормальное распределение:

Интенсивность отказов:

Вероятность безотказной работы:

4 Восстановление работоспособного состояния

Металлургическое оборудование является восстанавливаемой системой и поэтому, время её функционирования во много раз больше средней наработки на отказ. В этом случае среднее число отказов на интервале [0,t] приближённо равно

;

Система восстанавливается путём замены входящего в его состав отказавшего элемента и функционирует время , то необходимое число запасных элементов , необходимых для непрерывной работы системы до момента времени равно

При подсчёте запасных частей на год принимать q = 0,95, на месяц – q = 0,975.

Для определения гарантированного количества запасных частей, предотвращающее их истощение за определенный промежуток времени, используется распределение Пуассона, которое позволяет подсчитать вероятность отказов менее r, или равных r подсчитать вероятность менее r или равных r отказов, за определенный промежуток времени:

; и вероятность более r отказов:

Список литературы

1. Жиркин Ю.В. Надёжность, эксплуатация и ремонт металлургических машин. Учебник. Магнитогорск: МГТУ. 2002г..

2. Жиркин Ю.В. Надёжность, эксплуатация, техническое обслуживание и ремонт металлургических машин. Магнитогорск, МГТУ, 1998.

3. Жиркин Ю.В. Сборник задач и упражнений по курсу «Надёжность, ремонт и монтаж металлургических машин». Свердловск: УПИ, 1986.

Дата добавления: 2015-04-30