Расчет погрешностей косвенных измерений

При косвенных измерениях значение искомой величины Y получают на основании зависимости величины Y от величин Х_i, которые определяются путем прямых измерений.

Пусть зависимость имеет вид Y = F(Х₁, Х₂,_,Х₃). (1)

Если величины Х₁, Х₂,_,Х₃ измерены с некоторыми известными абсолютными погрешностями Х₁, Х₂, Х₃, то величина Y будет определена с некоторой погрешностью Y.

Y + Y = F [(Х₁+ X₁), (Х₂+ X₂), (Х₃+ X₃)]. (2)

Т.к. погрешности малы по сравнению с самими измеренными величинами, последнее уравнение можно разложить в ряд Тейлора, т.е. дифференцировать.

Y+ Y=F(Х₁, Х_2,Х₃)+ X₁+ X₂+ X₃ (3)

Абсолютная погрешность равна:

Y= X₁+ X₂+ X_3. (4)

Формула справедлива для любого вида функциональной связи между Y и Х.

Рассмотрим два часто встречающихся случая.

1-й случай.

Измеряемая величина Y связана с Х₁, Х₂,_,Х₃ линейной зависимостью.

Y = a Х₁+bХ₂+cХ_3, тогда согласно (4)

Y = a Х₁+b Х₂+c Х_3.

2-й случай.

Измеряемая величина Y связана с Х₁, Х₂,_,Х₃ нелинейной зависимостью.

Y= kX₁^αX₂^βX₃^γ, тогда согласно (4)

Y = kαX₁^α-1X₂^βX₃^γ X₁+ kβX₁^αX₂^β-1X₃^γ X₂+ kγ X₁^αX₂^β X₃^γ-1 X₃.

Т.к. это выражение неудобно для практического вычисления, пользуются относительной погрешностью:

=

γ = =

= α +β +γ

Дата добавления: 2015-04-30