Основной постулат метрологии

В процессе измерения неизвестный размер сравнивают с известным, который обычно принимают за единицу и выражают его через известный размер в дольном или кратном соотношении.

Математически эту процедуру можно записать так:

; (1.9)

где X – отсчет по шкале; Q – измеряемая величина; [Q] – единица измерения.

Выражение (1.9) называют уравнением измерения. В качестве [Q] при измерении физической величины выступает соответствующая единица СИ. Информация об этой единице заложена либо в используемой мере (метод сравнения с мерой), либо в разметке шкалы отсчетного устройства, в градировочной характеристике. При органолептических измерениях используется представление о размере величины, хранящемся в памяти человека.

Следует отметить, что процесс сравнения осуществляется при воздействии множества как случайных, так и не случайных факторов, основные группы которых мы рассмотрели. Точный учет совместного влияния всех факторов невозможен, поэтому при многократном измерении одной и той же величины постоянного размера, результат сравнения X, называемый отсчетом, получается все время разным.

Это положение, подтвержденное многолетней практикой, формулируется в виде аксиомы, которую называют основным постулатом метрологии – отсчет всегда является случайным числом.

На основании отсчета определяется показание средства измерения:

(1.10)

при этом, очевидно, что показание средства измерения является также случайным значением (X ≠ Q).

Многие трудности в метрологии связаны с тем, что отсчет невозможно представить одним числом (величина случайная). Его можно как-то описать словами или математическими зависимостями.

Пример: При n-кратном независимом измерении одной и той же физической величины постоянного размера аналоговым измерительным прибором указатель отсчетного устройства в случайной последовательности по M раз останавливался на каждом из делений шкалы:

0,10…0,11	0,11…0,12	0,12…0,13	0,13…0,14	0,14…0,15	0,15…0,16	0,16…0,17	0,17…0,18	0,18…0,19	0,19…0,20

Чему равен отсчет при таком измерении?

Решение: 1) Принимаем деления шкалы за основания и построим ни них прямоугольники с высотами, равными отношениям частот M/n к цене деления ΔX. 2) Полученная фигура (рисунок 1.4) называется гистограммой. Если соединить отрезками середины верхних сторон соседних прямоугольников, получим ломаную линию называемую полигоном распределения. Как гистограмма, так и полигон, являются исчерпывающим эмпирическим описанием отсчета. Если бы была возможность увеличить n, то в пределе при и полигон преобразовался бы в плавную кривую – кривая плотности вероятности отсчета – p(x) (дифференциальная функция распределения плотности вероятности).

Построение можно выполнить иначе. Подсчитывая сколько раз указатель отсчетного устройства останавливался левее каждой отметки шкалы, откладывая над этой отметкой вдоль оси ординат отклонение числа таких отклонений к их общему числу n и соединяя полученные точки отрезками прямых, мы получим ломаную линию, называемую кумулятивной кривой. При кумулятивная кривая преобразуется в интегральную функцию распределения вероятности отсчета – F(x).

Плотность распределения вероятности p(x) и интегральная функция распределения вероятности F(x) служат математическими моделями законов распределения, получаемых из экспериментальных данных.

Рассмотрим некоторые основные свойства законов распределения вероятности отсчета:

1. интегральная функция распределения вероятности F(x) – определяет вероятность того, что отдельный результат сравнения по формуле (1.9) будет меньше x.

2. F(x) – функция не убывающая, т.е. чем больше x, тем больше вероятность того, что результат сравнения по (1.9) не превысит это значение. При этом в случае изменения x от –∞ до +∞, F(x) изменяется от 0 до 1.

3. Вероятность того, что результат измерения окажется в интервале (x₁; x₂) равна разности значений F(x) на границах этого интервала:

Описание отсчета с помощью законов распределения вероятности является наиболее полным, но неудобным. Обычно на практике используют приближенное описание закона с помощью его числовых характеристик или моментов. Все они представляют собой некоторые средние значения. Если величины усредняются относительно начала координат, то они называются начальными, если усреднение производится относительно центра распределения, то моменты называются центральными.

Общее правило образования начальных моментов:

, где r – показатель степени. (1.11)

В метрологии широкое распространение находит начальный момент I-ого порядка, который называют математическим ожидание или средним значение отсчета:

; (1.12)

Свойства математического ожидания:

; ; ; ;

Математическое ожидание характеризует среднее значение отсчета. При этом экспериментально определить М(х) невозможно, поскольку для этого необходимо выполнить бесконечное число измерений (). На практике используют лишь оценку математического ожидания – среднее арифметическое значение. При среднее арифметическое значение стремится к математическому ожиданию.

Мерой рассеяния результатов сравнения по формуле (1.9) относительно среднего значения является центральный момент II порядка, называемый дисперсией.

; (1.14)

Свойства дисперсии: ; ; .

Чем больше дисперсия, тем значительнее рассеяние результатов сравнения относительно . Это наглядно видно из рисунка 1.5, где представлены кривые плотности распределения вероятности отсчета при различной дисперсии.

В метрологии чаще используют среднеквадратическое отклонение (СКО) – σ.

Среднеквадратическое отклонение, как и математическое ожидание, будучи характеристиками случайных законов распределения, сами не являются случайными, что очень удобно. Однако найти его опытным путем также невозможно, поэтому ограничиваются определением оценки среднего квадратического отклонения по формуле:

; (1.16)

Математическими моделями эмпирических (опытных) законов распределения вероятностей отсчета могут быть различные законы распределения вероятности: закон Симпсона, Релея, Гаусса (нормальный закон распределения), равномерный закон и т.п. При этом наиболее подробного рассмотрения заслуживают 2 последних закона.

Нормальный закон распределения вероятности (закон Гаусса).

Является наиболее широко распространенным при описании эмпирических (опытных) данных. Имеет место, когда результат измерения определяется совместным действием большого числа факторов, среди которых нет доминирующего.

Свойства нормального закона распределения вероятности:

1. результат сравнения по (1.9) может принимать непрерывный ряд значений;

2. вероятность появления отсчетов, для которых отклонения от среднего значения равны по модулю, но противоположены по знаку – одинакова. (симметричный закон);

3. вероятность появления отсчетов уменьшается по мере возрастания отклонения от среднего значения;

Кривая плотности распределения вероятности для нормального закона показана на рисунке 1.5, она имеет форму колокола. Дифференциальная p(x) и интегральная F(x) функции нормального распределения вероятности имеют вид:

;

(1.17)

где σ_x – среднее квадратическое отклонение (; – среднее значение отсчета (его математическое ожидание)).

К важнейшим преимуществам нормального закона распределения относится его устойчивость, то есть при комбинации нормальных законов получается также нормальный закону.

Вторым преимуществом является наличие различных табличных данных по данному закону, что упрощает процедуру его применения.

Дата добавления: 2015-04-30