Погрешность измерений. Обработка результатов измерений

Электромеханические приборы.

Для измерения напряжения и силы тока широко применяются электромеханические приборы. В большинстве электромеханических приборов выходным перемещением a является угловое перемещение стрелки. При подаче на вход измерительной схемы прибора тока возникает вращающий момент М=f(Х). Чтобы каждому значению измеряемой величины Х соответствовало определённое отклонение стрелки, необходимо уравновесить вращающий момент М противодействующим моментом Мпр, противоположным вращающему и возрастающим по мере увеличения угла поворота подвижной части. В большинстве электроизмерительных приборов противодействующий момент создаётся плоской спиральной пружинкой, для которой справедливо соотношение М_пр=W^a, где W - коэффициент, зависящий от свойств материала и размеров пружинки.

Приведем перечень электромеханических приборов в зависимости от конструктивных особенностей:

- приборы магнитоэлектрической системы;

- приборы электромагнитной системы;

- выпрямительные приборы;

- термоэлектрические приборы.

Мерой оценки точности измерений является погрешность. Погрешность характеризует отклонение измеренного значения некоторой величины от её истинного (действительного) значения. Следует различать погрешность измерений, получаемую как результат обработки экспериментальных наблюдений, и нормированную погрешность средства измерения, являющуюся его технической характеристикой. Эти погрешности могут совпадать только в отдельных частных случаях. Абсолютной погрешностью называется разность

D = x – X,

где х – истинное значение; Х - результат измерения.

Абсолютная погрешность выражается в тех же единицах, что и измеряемая величина.

Относительной погрешностью измерения называется отношение

,или в процентах

По своей природе погрешности бывают систематическими и случайными.

1.4.1. Систематическая погрешность - составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. Систематические погрешности, которые действуют в процессе измерения, называются неисключёнными.

Классификация систематических погрешностей:

1 - инструментальные, которые свойственны средствам измерения и являются следствием дефектов их статических характеристик;

2 - методические, возникающие из-за несовершенства методики измерения либо из-за несоответствия методики поставленной задаче;

3 - субъективные, вызванные ошибками наблюдателя при отсчёте показаний (небрежность, параллакс, ошибка при интерполяции).

Нормированная погрешность является паспортной характеристикой средства измерения и может быть задана в виде абсолютной, относительной или приведенной погрешности. В некоторых случаях, например при изготовлении нестандартных средств или при желании сузить пределы допустимой систематической погрешности, их подвергают индивидуальным градуировкам.

Пределы допустимых погрешностей средств измерений (паспортные или индивидуальные) должны рассматриваться как границы основной неисключенной систематической погрешности. Уменьшить систематические погрешности можно, устраняя или уменьшая изменения внешних условий (стабилизация питающего напряжения, термостабилизация, экранирование и т.п.)

Единственным путём выявления необнаруженных систематических погрешностей является проведение измерений двумя или несколькими независимыми методами, обладающими приблизительно одинаковыми постоянными и переменными систематическими погрешностями. Грубое расхождение между результатами, полученными разными методами, указывает на наличие в одном из каналов измерений недопустимой систематической погрешности.

1.4.2. Случайная погрешность - составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и той же физической величины.

Методы теории вероятностей и математической статистики позволяют установить вероятностные (статистические) закономерности появления случайных погрешностей и на основании этих закономерностей дать количественные оценки результата измерений и его случайной погрешности. Для характеристики свойств случайной величины в теории вероятностей используют понятие закона распределения вероятностей случайной величины. Различают две формы описания закона распределения: интегральную и дифференциальную. В метрологии преимущественно используется дифференциальная форма закона распределения плотности вероятностей случайной величины.

Если известен дифференциальный закон распределения случайной величины, то вероятность Р её попадания в интервал от x₁ до х₂

Графически эта вероятность выражается отношением площади, лежащей под кривой в интервале от х₁ до х₂ к общей площади, ограниченной кривой распределения.

Кроме непрерывных случайных величин в метрологической практике встречаются и дискретные случайные величины. Для описания свойств случайной величины используют числовые характеристики распределений. В качестве числовых характеристик выступают моменты случайных величин: начальные и центральные. Все они представляют собой некоторые средние значения; причём, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра распределения—центральными.

Начальный момент К-го порядка определяется формулами:

где рi – вероятность появления дискретной величины. Первая формула относится к непрерывным, а вторая к дискретным случайным величинам.

Наибольший интерес для анализа представляет математическое ожидание случайной величины (к = 1)

Центральные моменты k-го порядка рассчитываются по формулам

. Из центральных моментов особенно важную роль играет второй момент (k = 2), т.е. дисперсия случайной величины.

Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние отдельных её значений; размерность дисперсии — квадрат случайной величины. Часто в качестве характеристики рассеяния случайной величины принимают корень квадратный из дисперсии, называемым средним квадратическим отклонением (СКО), которое имеет размерность случайной величины.

К оценкам, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.

Оценка считается состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины.

Несмещенной считается оценка, математическое ожидание которой равно истинному значению оцениваемой величины.

Эффективность оценки определяется величиной дисперсии. Чем меньше дисперсия, тем эффективнее оценка.

В практике измерений встречаются различные формы кривой закона распределения, однако чаще всего имеют дело с нормальным и равномерным распределениями плотности вероятностей. Правила обработки результатов наблюдений, как правило, регламентируются нормативно- техническими документами (стандартами, методическими указаниями, инструкциями). Так в стандарте на методы обработки результатов прямых измерений с многократными повторениями наблюдений указывается, что приведенные в нем методы обработки установлены для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному закону.

Нормальное распределение плотности вероятностей характерно тем, что согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, такое распределение обусловлено влиянием бесконечно большого числа бесконечно малых случайных возмущений с любыми распределениями. Применительно к измерениям это означает, что нормальное распределение случайных погрешностей возникает тогда, когда на результат измерения действует множество случайных возмущений, ни одно из которых не является преобладающим.

В аналитической форме нормальный закон распределения выражается формулой

где х - случайная величина; а - математическое ожидание случайной величины; s - среднее квадратическое отклонение (СКО).

Перенеся начало координат в центр распределения а и откладывая по оси абсцисс погрешность, Δx = х – а, получим кривую нормального распределения погрешностей

Рис.

Для группы из n наблюдений, распределенных по нормальному закону

;

Кривая нормального распределения погрешностей симметрична относительно оси ординат. Это означает, что в массе своей погрешности имеют примерно одинаковое количество отклонений, как в отрицательную, так и в положительную сторону. Из характера кривой следует, что малые погрешности встречаются чаще, чем большие.

Сравнивая между собой кривые нормального распределения с различными СКО, можно убедиться, что чем меньше СКО тем меньше рассеяние результатов измерений и тем больше вероятность того, что доля малых отклонений больше, чем больших. Естественно заключить, что качество измерений тем выше, чем меньше СКО случайных погрешностей.

Случайная величина х может принимать одни и те же значения в пределах некоторого конечного интервала от х₁ до х₂ с постоянной плотностью вероятностей. Такое распределение называется равномерным и описывается соотношениями:

f (x) = c x₁ < x < x₂

f (x) = c x < x₁ x < x₂

Так как площадь, ограниченная кривой распределения равна единице, то

c × (x₂ – x₁) = 1

Отсюда плотность распределения

при x₁ < x < x₂

f (x) = c при x < x₁ x < x₂

Математическое ожидание величины х .

В силу симметрии равномерного распределения медиана величины х также равна . Моды закон равномерной плотности не имеет.

Определения медианы и моды:

Медиана - центр симметрии распределения. Для нормального распределения совпадает с математическим ожиданием. Мода - координата максимума плотности распределения. Для нормального закона распределения также совпадает с математическим ожиданием. Дисперсия величины х определяется по формуле:

, откуда СКО математическим ожиданием). Дисперсия величины х определяется по формуле: , откуда СКО .

Варианты оценки случайных погрешностей. Для количественной оценки случайных погрешностей и установления границ случайной погрешности результата измерений используются: предельная погрешность; интервальная оценка; числовые характеристики закона распределения. Выбор конкретной оценки определяется степенью полноты сведений о погрешности, назначением измерений и характером использования их результатов. Комплексы оценок показателей точности установлены стандартами. Предельная погрешность Dm -погрешность, больше которой в данном измерительном эксперименте не может появиться. Такая оценка погрешности правомерна только для распределений, границы которых четко выражены и существует такое значение ± D_m, которое ограничивает возможные значения случайных погрешностей с обеих сторон от центра распределения (например, равномерное).

На практике такая оценка есть указание наибольшей погрешности, которая может встретиться при многократных измерениях одной и той же величины. Недостатком такой оценки является то, что она не содержит информации о характере закона распределения случайных погрешностей. При арифметическом суммировании предельных погрешностей получаемая сумма может значительно превышать действительные погрешности.

Более универсальными и информативными являются квантильные оценки. Площадь, заключенная под всей кривой плотности распределения погрешностей, отражает вероятность всех возможных значений погрешности и по условиям нормирования равна единице. Квантильная оценка погрешности представляется интервалом от -Dx(P) до Dx(P), на котором с заданной вероятностью Р встречаются Р´100% всех возможных значений случайной погрешности. Интервал с границами ±Dx(p) называется доверительным интервалом случайнойпогрешности, а соответствующая ему вероятность – доверительной вероятностью.

Доверительные границы случайной погрешности ±Dx(P), соответствующие доверительной вероятности Р, находят по формуле Dx(P) = t × s, где t -коэффициент, зависящий от Р и вида закона распределения.

t´s	1´s	2´s	3´s	4´s
P	0,68	0,95	0,997	0,999

В таблице приведены доверительные вероятности и соответствующие им доверительные интервалы. При нормальном распределении погрешностей принято считать случайную погрешность с границами ± 3s предельной (максимально возможной) погрешностью. Погрешности, выходящие за эти границы, классифицируются как грубые или промахи.

Оценка s рассеяния единичных результатов наблюдений в группе наблюдений относительно среднего их значения, а вычисляется по формуле

Поскольку число наблюдений в группе ограничено, то повторив заново серию наблюдений этой же величины, мы получили бы новое значение среднего арифметического. Повторив многократно серии наблюдений и, вычисляя каждый раз их среднее арифметическое значение, мы убедимся в рассеянии средних арифметических значений. Характеристикой этого рассеяния является среднее квадратическое отклонение среднего арифметического

. СКО S_x используется для оценки погрешности результата измерений с многократными наблюдениями. При нормальном законе распределения плотности вероятностей результатов наблюдений и небольшом числе наблюдений среднее арифметическое подчиняется закону распределения Стьюдента с тем же средним арифметическим значением а. Особенностью этого распределения является то, что доверительный интервал с уменьшением числа наблюдений расширяется, по сравнению с нормальным законом распределения при той же доверительной вероятности.

Доверительная граница абсолютной случайной погрешности находится по формуле Dx = t × S (X_m)

где t - коэффициент Стьюдента;

S - среднее квадратическое отклонение результата измерения при m - наблюдениях.

СКО S_x используется для оценки погрешности результата измерений многократными наблюдениями.

При нормальном законе распределения плотности вероятностей результатов наблюдений и небольшом числе наблюдений среднее арифметическое подчиняется закону распределения Стьюдента с тем же средним арифметическим значением а. Особенностью этого распределения является то, что доверительный интервал с уменьшением числа наблюдений расширяется, по сравнению с нормальным законом распределения при той же доверительной вероятности.

Обработка результатов наблюдений производится в следующей последовательности:

1. Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений (введением поправки);

2. Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения:

3. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдения:

Вычислив оценку СКО результата наблюдений, целесообразно проверить наличие в группе наблюдений грубых погрешностей, помня, что при нормальном законе распределения ни одна случайная погрешность (X_i - X), с вероятностью практически равной единице, не может выйти за пределы ±3s. Наблюдения, содержащие грубые погрешности, исключают из группы и заново повторяют вычисления Х и s.

4. Вычислить оценку СКО результата измерения S_x по формуле для Sx.

5. Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению. Приближенно о характере распределения можно судить, построив гистограмму. Строгие методы проверки гипотез с применением специальных критериев (c²-Пирсона, w²-Мизеса-Смирнова и др.) рассматриваются в специальных дисциплинах.

При числе наблюдений n<15 принадлежность их к нормальному распределению не проверяют, а доверительные границы случайной погрешности результата определяют лишь в том случае, если достоверно известно, что результаты наблюдений принадлежат нормальному закону.

6. Вычислить доверительные границы ε случайной погрешности результата измерения при заданной вероятности Р:

где t_q ^- коэффициент Стьюдента.

7. Вычислить границы суммарной неисключенной систематической погрешности результата измерений. При отсутствии данных о виде распределения неисключенных составляющих систематических погрешностей их распределения принимают за равномерные. При равномерном распределении неисключенной систематической погрешности результата измерения q вычисляют по формуле

где q_i - граница I-й неисключенной составляющей систематической погрешности;

k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р=0,95 k=1,1); m - количество неисключенных составляющих.

8. Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения. Анализ соотношения между неисключенной систематической погрешностью и случайной показывает, что если , то неисключенной погрешностью можно пренебречь и принять границы погрешности результата D равным ±e. Если , то случайной погрешностью нельзя пренебречь и принять границы погрешности результата D равным ±q. Если оба неравенства не выполняются, вычисляется СКО результата как сумма неисключенных систематических погрешностей и случайной составляющей:

Границы погрешности результата измерения в этом случае вычисляют по формуле

Стандартом регламентирована и форма записи результатов измерений. При симметричном доверительном интервале погрешности результат измерения представляют в форме X±D, Р, где Х - результат измерения.

При отсутствии данных о видах функции распределения составляющих погрешности результата или при необходимости дальнейшей обработки результатов, результат измерения представляют в форме Х, S_x, n, q.

Дата добавления: 2015-04-30