Условия возбуждения колебаний

Краткие сведения из теории

Цель и содержание работы

И СТАБИЛИЗАЦИЯ ЧАСТОТЫ

ГЕНЕРАТОРЫ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 14

Целью настоящей работы является изучение генераторов гармонических колебаний с колебательным контуром и кварцевым резонатором, монтаж электрических схем и экспериментальное исследование работы автогенераторов различных типов.

В качестве генератора гармонических колебаний обычно используется усилитель, охваченный обратной связью с выхода на его вход (рис. 1). Усилитель может быть выполнен на электронных лампах, биполярных или полевых транзисторах и интегральных микросхемах, выполненных на их основе.

К

U_вх

U ¢ _вх U_вых

U_ос = bU_вых

Рис. 1. Усилитель с цепью обратной связью

В случае усилителя с комплексным коэффициентом передачи К, охваченного обратной связью, из теории известно выражение для его коэффициента передачи К ¢

(1)

где b - комплексный коэффициент обратной связи.

Анализ данного выражения показывает, что при отрицательных значениях произведения bК (при отрицательной обратной связи (ООС) К ¢ < К, причём, если << 1, то К ¢» -1/ b. Это свойство усилителя с ООС используется для стабилизации коэффициента передачи усилителя и для расширения его полосы пропускания.

В случае положительной обратной связи 1 > bК > 0 происходит возрастание К ¢ по сравнению с К. При bК = 1 коэффициент передачи усилителя, охваченного положительной обратной связью (ПОС), обращается в бесконечность и происходит самовозбуждение усилителя, то есть он превращается в генератор.

Поскольку b и К являются комплексными величинами, условие bК = 1 можно представить в виде

(2)

(3)

= 1,

f_b + f_К = 2p n,

где n = 1; 2; 3 …..

Условие равенства единице модулей коэффициентов передач называется балансом амплитуд, а условие кратности 2p суммы аргументов – балансом фаз.

При выполнении баланса фаз и амплитуд > 1 в усилителе происходит возрастание амплитуды колебаний до тех пор, пока значение не уменьшится до величины 1/ за счёт нелинейности амплитудной характеристики усилителя, крутизна которой снижается с увеличением амплитуды усиливаемых колебаний (рис. 2).

U_вых, К

U_{ст вых}

U_вых

К

К = - 1/ b

U_вх

U_{ст вх}

Рис. 2. Амплитудная характеристика усилителя и зависимость

коэффициента усиления от амплитуды входного напряжения

2.2. Автогенераторы LC – типа.

Рассмотрим схему автогенератора на полевом транзисторе (ПТ) с колебательным контуром LC – типа, приведённую на рис. 3.

Положительная обратная связь в усилителе, нагрузкой которого служит катушка связи L_{св .}, создаётся через параллельный колебательный контур, включённый во входную цепь усилителя.

Индуктивность контура L_к имеет трансформаторную связь через катушку L_св с выходной цепью усилителя. Использование колебательного контура позво-

ляет обеспечить условие возбуждение колебаний на резонансной частоте конту-

ра , на которой выполняется условие баланса амплитуд и баланса фаз. Ток в контуре i_к связан с напряжением на конденсаторе U_с выражением

(4)

,

(5)

а ток стока, протекающий через катушку связи

i_c = SU_с ,

где S – крутизна линейной вольтамперной характеристики ПТ.

R_к

i

ПТ

L_св C_к

L_к

i_к

С ₁ R ₁ R ₂ С ₂

+ U_п

Рис. 3. Автогенератор с трансформаторной связью на ПТ

Наведённая в колебательном контуре ЭДС определяется током стока ПТ и взаимной индуктивностью М между катушками.

Приведём уравнение Кирхгофа для суммы напряжений на элементах колебательного контура

(6)

.

Знак + или – обусловлен согласным или встречным включением катушки связи и колебательного контура.

Используя соотношение (4, 5) приведём уравнение (6) к виду

(7)

.

При постоянных значениях коэффициентов данное выражение представляет собой однородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Используя обозначение

(8)

приведём уравнение (7) к виду

(9)

.

(10)

и запишем характеристическое уравнение

P ² + 2 aP + w ²₀ = 0.

Корни характеристического уравнения имеют вид

(11)

Если добротность Q >> 1 или a << w₀, то

P _1,2 = - a ± jw_р - a ²» - a ± jw ₀ ,

где w _р =

(12)

Общее решение дифференциального уравнения можно представить в виде

U_c (t) = Ae ^{- at} cos (w ₀ t + f ₀),

где постоянные интегрирования A и f ₀ определяются начальными условиями.

Для пассивной цепи a = R /2 L > 0 и колебания U_c (t) будут затухающими.

(13)

В автогенераторе при a < 0 показатель степени при экспоненте в выражении (12) будет положительным, а амплитуда колебаний будет неограниченно возрастать. Учитывая то, что a = 0,5(R / L + MS / LC), условие a < 0 возможно при (MS / LC) > R / L или

R < MS / C,

то есть при a = 0,5(R / L - MS / LC).

Сравнивая приведённое условие с (1) отметим то, что в данном выражении крутизна характеристики S характеризует его коэффициент усиления К = SR_н, а взаимная индуктивность М – коэффициент обратной связи b. Усилитель с положительной обратной связью компенсирует собственные потери энергии колебательного контура, внося в него отрицательное активное сопротивление.

(14)

В реальных генераторах крутизна характеристики усилителя является функцией от амплитуды входного напряжения – S = S ₁(U_mc), а дифференциальное уравнение (7, 9) относится к классу нелинейных однородных дифференциальных уравнений, общие методы решений которых неизвестны. Частное решение обычно ищут, опираясь на особенности исследуемого объекта. Используя метод укороченного уравнения [2] можно получить значение средней крутизны вольтамперной характеристики по первой гармонике

S ₁(U_mc) = I_{m 1}(U_mc)/ U_mc,

где I_{m 1} – амплитуда первой гармоники тока стока ПТ усилителя с колебательным контуром. Выражение (8) можно записать в виде

(15)

,

в котором с возрастанием амплитуды колебаний a увеличивается от некоторого отрицательного значения до 0.

Условие стационарной амплитуды колебаний для a = 0 будет иметь вид

(16)

(17)

а значение средней крутизны рабочей точке

S (U_mc) = RC / M.

При известной зависимости S (U_mc) данное выражение позволяет определить амплитуду стационарных колебаний в контуре.

Для стабилизации частоты генерируемых колебаний необходимо, чтобы в колебательном контуре и усилителе параметры элементов электрической схемы мало зависели от условий внешней среды, а из условия баланса фаз для стабилизации частоты колебаний требуется максимальная крутизна фазочастотной характеристики колебательного контура. Таким образом, высокая стабильность частоты генерируемых колебаний достигается при высокой добротности колебательной системы и стабильности параметров элементов контура и электрической схемы усилителя.

Реальная добротность катушек индуктивности колебательных контуров на средних и высоких частотах не превышает значений 150…200, а добротность резонаторов СВЧ, используемых в качестве колебательных систем, значений нескольких тысяч, что ограничивает стабильность частоты генерируемых колебаний.

2.3. Электрические схемы LC – генераторов.

Результаты исследования колебательного процесса на основе схемы автогенератора с трансформаторной связью (рис. 3) можно использовать и для других вариантов схем автогенераторов, поскольку выполнение условий баланса фаз и амплитуд для режима стационарных колебаний является основополагающим фактором.

+ U_п

R_ф

L_св L_к С_к С_ф

С_р U_вых

ПТ

R_и С_и

Рис. 4. Электрическая схема автогенератора с LC – контуром

в цепи стока ПТ и с трансформаторной связью

На рис. 4 приведена электрическая схема автогенератора с LC – контуром в цепи стока ПТ и с трансформаторной связью, а на рис. 5 эквивалентные схемы LC – генераторов, выполненных по схеме индуктивной (а) и ёмкостной (б) трёхточки.

При анализе трёхточечных схем используем её обобщённый вариант, включающий элементы колебательного контура Z ₁, Z ₂, Z ₃ усилитель с коэффициентом передачи К (рис. 6).

ПТ

С

ПТ L

L ₂ C ₂

L ₁

C ₁

а) б)

Рис. 5. Эквивалентная схема LC – генератора, индуктивная (а)

и ёмкостная (б) трёхточки

Z ₃

Z ₂ Z ₁

U_вых

Рис. 6. Обобщённый вариант трёхточечной схемы автогенератора

(18)

Коэффициент обратной связи b = Z ₁/(Z ₁+ Z ₃) и полагая, что в первом приближении можно учитывать только реактивные элементы колебательного контура X ₁, X ₂ и Х ₃ получим

b = Х ₁/(Х ₁+ Х ₃).

(19)

Сумма всех реактивностей контура на резонансной частоте равна нулю

Х ₁+ Х ₂+ Х ₃ = 0.

Если напряжение обратной связи поступает на инвертирующий вход усилителя, то из условия баланса фаз цепь обратной связи (Z ₁ и Z ₃) должна вносить фазовый сдвиг равный p, то есть f_b = p. Тогда f_к + f_b = 2p и баланс фаз выполняется. Условие (f_b = p) достигается из (18) в том случае, если < , а Х ₁ и Х ₃ являются реактивностями противоположного вида (Х ₁ - ёмкость, а Х ₃ – индуктивность или наоборот). В первом случае получим индуктивную трёхточку, а во втором – ёмкостную.

Поскольку < , то для выполнения условия (19) необходимо, чтобы Х ₂ была индуктивностью того же знака, что и Х ₁ (рис. 7).

Если обратная связь поступает на неинвертирующий вход усилителя (f_к = 0), то и f_b должна быть равна нулю, следовательно, Х ₁ и Х ₃ должны быть реактивностями одного вида (ёмкости или индуктивности) (рис. 8). В приведённых схемах не рассматриваются цепи питания входной и выходной цепи по постоянному току.

С ₃ L ₃

L ₁ C ₂ C ₁

L ₂

U_вых U_вых

а) б)

Рис. 7. Трёхточечная схема LC – генераторов с ОС на инвертирующий вход

(а – индуктивная, б – ёмкостная)

L ₃ C ₃

C ₂ L ₂

L ₁ C ₁

U_вых U_вых

а) б)

Рис. 8. Трёхточечная схема LC – генератора с ОС на неинвертируюший вход

(а – индуктивная, б – ёмкостная)

Отметим, если усилитель в инвертирующей схеме сдвигает фазу не на 180°, а, например, f_к = 200°, то из условий баланса фаз f_b должно равняться 160°. Такой фазовый сдвиг в цепи обратной связи может быть получен, если частота колебаний отличается от резонансной частоты колебательного контура. Таким образом, фазочастотная характеристика усилителя при разомкнутой цепи обратной связи влияет на частоту колебаний автогенератора.

Дата добавления: 2015-05-06