Минимизация логических функций по картам Карно

Карта Карно изображает в виде графических квадратов (клеток) все возможны комбинации переменных, причем переменные, определяющие координаты клеток карты, размещают так, чтобы при переходе из одной клетки в соседнюю, как по горизонтали, так и по вертикали, изменялась только одна переменная.

Если требуется получить карту Карно для какой – либо функции, сначала надо записать эту функцию в СДНФ, – в совершенной дизъюнктивно нормальной форме, или в виде таблицы истинности.

Каждое слагаемое булева выражения в СДНФ, или каждая единица в столбце функции таблицы истинности, задается на карте Карно единицей в соответствующей клетке. Координаты этой клетки содержат те же входные переменные и их инверсии, что и данное слагаемое СДНФ булева выражения (или данная строка таблицы истинности).

Taблица истинности для четырех переменных включает 16 строк, следовательно карта Карно должна состоять из 16 клеток, как показано на рис.2.3.10.1.

`А`В `А В А В А`В

`С`D

`C D

C D

C`D

Рис.2.3.10.1. Форма карты Карно для 4 – х переменных.

У карты Карно для четырех переменных клетки крайнего левого столбца должны рассматриваться как соседние для клеток крайнего правого столбца, а клетки верхней строки, – как соседние для клеток нижней строки. Другими словами можно сказать, что эта карта расположена на поверхности цилиндра (склеили правый край карты с левым), изогнутого и растянутого так, что его верхний срез соединяется с нижним срезом; при этом цилиндр превращается в тор (бублик).

Правила упрощения заполненной карты Карно для четырех переменных заключаются в следующем:

– соседние две, четыре, или восемь единиц обводят общим контуром;

– контур должен быть прямоугольным без изгибов или наклонов;

– каждый контур превращает все входящие в него единицы в одну, т.е. объединенные таким образом слагаемые СДНФ булева выражения дают одно слагаемое в упрощенном выражении;

– те входные переменные, которые входят в координаты данного контура совместно со своими инверсиями, исключаются из слагаемого, которое дает этот контур в упрощенное выражение.

Примеры упрощения булевых выражений с помощью карты Карно:

1. F1 = `А В`С`D<sub>1</sub> + A B`C`D<sub>2</sub> +`A B`C D<sub>3</sub> + A B`C D₄ +

+ `A`B C`D<sub>5</sub> + `A B C`D₆.

`А`В `А В А В А`В

B`C

`С`D 1₁ 1₂

`C D 1₃ 1₄

`A C`D

C D

C`D 1₅ 1₆

F1 = B C + `A C`D

Рис.2.3.10.2. Пример минимизации булевой функции F1 с помощью карты Карно для 4 – х переменных.

В первом примере минимизации булевой функции F1 нижний контур из двух единиц 1₅ и 1₆ , соответствующие пятому и шестому слагаемым в исходном булевом выражении, дает возможность опустить B и`B. После этого в нем остается произведение `A C`D. В верхнем контуре из четырех единиц 1<sub>1</sub>, 1<sub>2</sub>, 1<sub>3</sub> и 1<sub>4</sub>, соответствующие первым четырем слагаемым в исходном булевом выражении попарно опускаются A и`A, D и`D, так что в результате этого верхний контур дает произведение B C.

2. F2 =`А`В`С`D₁ +`A B`C`D<sub>2</sub> + A B`C`D<sub>3</sub> +`A`B C`D₄ +`AB C`D₅

`А`В `А В А В А`В

B`C`D

`С`D 1₁ 1₂ 1₃

`C D

`A`D

C D

C`D 1₄ 1₅

F2 =`A`D + B`C`D

Рис.2.3.10.3. Пример минимизации булевой функции F2 с помощью карты Карно для 4 – ах переменных.

Во втором примере минимизации булевой функции F2 контур из двух единиц 1₂ и 1₃ , соответствующие второму и третьему слагаемым в исходном булевом выражении, дает возможность опустить А и`А. После этого в нем остается произведение B`C`D. В контуре из четырех единиц 1<sub>1</sub>, 1<sub>2</sub>, 1<sub>4</sub> и 1<sub>5</sub>, соответствующие другим четырем слагаемым из исходного булева выражения, попарно опускаются В и`В, С и`С, так что в результате этого верхний контур дает произведение `A`D.

Карта Карно представляется в данном случае свернутой в цилиндр, в котором верхний край совмещается с нижним. Этот пример показывает также, что контура могут накладываться друг на друга.

Дата добавления: 2015-05-06