Решение типовых задач. Мы будем очень благодарны Вам за оставленный отзыв о викторине

Мы будем очень благодарны Вам за оставленный отзыв о викторине.

Задача 1

Данные о динамике объема продукции по сравнению с предыдущим годом представлены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Год	Произведено, тыс. ед.	Абсолютный прирост, тыс. ед.	Темп роста, %	Темп прироста, %	Абсолютное значение 1% прироста, тыс. ед.
		×	×	×	×
				3,5
					0,6

Требуется заполнить таблицу и на ее основе рассчитать базисные показатели динамики, а так же средние показатели за период.

Решение

Так как данные приведены в сравнении с предыдущим годом, то воспользуемся формулами цепных показателей динамики:

цепной абсолютный прирост: = у_i − y_{i −1},

цепной темп роста: Т _{р. цепн} = (у_i / y_{i − 1}) ∙ 100,

цепной темп прироста: Т _{прир. цепн} = Т _р.цепн – 100.

Абсолютное значение 1% прироста: A = 0,01∙ у_{i – 1}.

Тогда в 2007 г.:

= 6, т.е. у ₂₀₀₇ − у ₂₀₀₆= 6, следовательно, у ₂₀₀₇ = у ₂₀₀₆ + 6 = 46;

Т _р = (46/40)∙100 = 115%;

Т _пр = 115 – 100 = 15%;

А = 0,01∙ у ₂₀₀₆ = 0,4 тыс. ед.

В 2008 г.

Темп прироста = 105 – 100 = 5%.

Т _р = (у ₂₀₀₈ /у ₂₀₀₇) ∙ 100,

отсюда у ₂₀₀₈ = 0,01 ∙ Т _р ∙ у ₂₀₀₇ = 1,05 ∙ 46 = 48,3 тыс. ед.,

= у ₂₀₀₈ − у ₂₀₀₇ = 48,3 – 46 = 2,3 тыс. ед.,

А = 0,01 ∙ у ₂₀₀₇ = 0,46 тыс. ед.

В 2009 г.:

Т _р = Т_пр + 100 = 103,5%,

Т _р = (у ₂₀₀₉/ у ₂₀₀₈) ∙ 100,

у ₂₀₀₉ = 0,01 ∙ Т _р∙ у ₂₀₀₈ = 1,035 ∙ 48,3 = 50,

= 50 − 48,3 =1,7,

А = 0,01 ∙ у 2008 = 0,48 тыс. ед.

В 2010 г.:

А ₂₀₁₁ = 0,01 ∙ у ₂₀₁₀,

у ₂₀₁₀ = 100 ∙ А ₂₀₁₁ = 100 ∙ 0,6 = 60 тыс. ед.,

Δ = 60 – 50 = 10 тыс. ед.,

Т _р = (60/50) ∙ 100% = 120%,

Т _пр = 120 – 100 = 20%.

В 2011 г.:

Т _пр = 107 – 100 = 7%,

Т _р = (у ₂₀₁₁/ у ₂₀₁₀) ∙ 100,

у 2011 = 0,01 ∙ Т _р∙ у ₂₀₁₀ = 1,07 ∙ 60 = 64,2 тыс. ед.,

Δ = 64,2 – 60 = 4,2 тыс. ед.

Базисные показатели динамики:

― абсолютные приросты:

Δ₂₀₀₇ = у ₂₀₀₇ − у ₂₀₀₆ = 6 тыс. ед.

Δ₂₀₀₈ = у ₂₀₀₈ − у ₂₀₀₆ = 8,3 тыс. ед. или Δ₂₀₀₇ + Δ₂₀₀₈ = 6 + 2,3 = 8,3 тыс. ед.

Δ₂₀₀₉ = у ₂₀₀₉ − у ₂₀₀₆ = 10 тыс. ед. или Δ₂₀₀₈ + Δ₂₀₀₉ = 8,3 + 1,7 = 10 тыс. ед.

Δ₂₀₁₀ = у ₂₀₁₀ − у ₂₀₀₆ = 20 тыс. ед. или Δ₂₀₀₉ + Δ₂₀₁₀ = 10 + 10 = 20 тыс. ед.

Δ₂₀₁₁ = у ₂₀₁₁ − у ₂₀₀₆ = 24,2 тыс. ед. или Δ₂₀₁₀ + Δ₂₀₁₁ = 20 + 4,2 = 24,2 тыс. ед.

― базисный темп роста:

Т _{р 2007} = (у ₂₀₀₇/ у ₂₀₀₆) ∙ 100 = (46/40) ∙ 100 = 115%,

Т _{р 2008} = (у ₂₀₀₈/ у ₂₀₀₆) ∙ 100 = (48,3/40) ∙ 100 = 120,75%,

Т _{р 2009} = (у ₂₀₀₉/ у ₂₀₀₆) ∙ 100 = (50/40) ∙ 100 = 125%,

Т _{р 2010} = (у ₂₀₁₀/ у ₂₀₀₆) ∙ 100 = (60/40) ∙ 100 = 150%,

Т _{р 2011} = (у ₂₀₁₁/ у ₂₀₀₆) ∙ 100 = (64,2/40) ∙ 100 = 160,5%.

Средние показатели.

Средний уровень ряда:

тыс. ед.

Средний абсолютный прирост:

тыс. ед. или

тыс. ед.

― темп роста

или

, где K ₁, K ₂,… K ₅ ― цепные коэффициенты роста;

= 109,92 %.

Средний темп прироста

− 100 = 109,92 – 100 = 9,92 %.

Задача 2

Остатки товаров на складе составили (тыс. руб.):

на 1.01.2011 ― 300;

на 1.02.2011 ― 420;

на 1.03.2011 ― 500;

на 1.04.2011 ― 200.

Вычислить средний остаток товаров на складе в I квартале 2011 г.

Решение

Так как ряд моментный с равными интервалами (один месяц), применим среднюю хронологическую:

,

тыс. руб.

Задача 3

Среднемесячные остатки товаров на складе в I кв. составляли 390 тыс. руб. Имеются данные о движении материальных запасов на предприятии в течение июня (тыс. руб.):

на начало месяца ― 1200;

01.06 поступило на склад ― 500;

04.06 отпущено в производство ― 300;

07.06 отпущено в производство ― 250;

12.06 поступило на склад ― 400;

15.06 отпущено в производство ― 850;

20.06 реализовано на сторону ― 120;

28.06 отпущено в производство ― 380.

Других изменений до конца месяца не было.

Требуется определить средний запас материалов на предприятии в июне.

Решение

Представим движение материальных запасов в табл. 8.2

Таблица 8.2

	Период	Величина запаса, тыс. руб. yi	Длина периода, дней ti	yi ti
	01.06
	02―03.06
	04―06.06
	07―11.06
	12―14.06
	15―19.06
	20―27.06
	28―30.06
Итого

Средний запас определим по формуле средней арифметической взвешенной (по числу дней):

, т.е. имеем =27940/30 = 931,3 тыс. руб.

Задача 4

Ежегодный прирост продукции характеризуется данными, представленными в табл. 8.3 (в процентах к предыдущему году).

Таблица 8.3

1. Как изменился объем продукции за рассматриваемый период?

2. Каким был среднегодовой темп прироста?

3. Оценить уровень 2010 г., если в 2003 г. было выпущено продукции 40 тыс. ед.

4. Найти среднегодовой абсолютный прирост.

Решение

Чтобы оценить, как изменился объем продукции за весь период, т.е. за 2004―2010 гг., надо найти базисный темп роста, взяв за базу сравнения 2003 г. Воспользуемся взаимосвязью показателей динамики.

Произведение цепных коэффициентов роста равно базисному, т.е.

K _баз = K ₁ ∙ K ₂…… K_n,

где K ₁, K ₂…… K_n ― цепные коэффициенты роста.

По данным условия задачи они составляют:

K _р2004 = 1,05, K _р2005 = 1,07, K _р2006 = 1,03,

K _р2007 = 1,08, K _р2008 = 1,1, K _р2009 = 1,15, K _р2010 = 1,09.

Следовательно, базисный коэффициент роста составит:

K _баз = 1,05 ∙ 1,07 ∙ 1,03 ∙ 1,08 ∙ 1,10 ∙ 1,15 ∙ 1,09 = 1,723261

или базисный темп роста 172,33%, т.е. по сравнению с 2003 г. объем продукции в 2010 г. вырос на 72,33%.

Чтобы оценить среднегодовой темп прироста, найдем сначала средний коэффициент роста по формуле:

, т.е. получим

= = 1,080848,

т.е. среднегодовой ежегодный темп роста составлил 108,085%.

Следовательно, средний темп прироста равен 8,085%.

Чтобы оценить объем продукции в 2010 г. воспользуемся другой формулой среднего коэффициента роста:

, т.е. ,

тогда у ₂₀₀₇ = у ₂₀₀₀ ∙ 40 ∙ 1,0808487 = 40 ∙ 1,723261 = 68,93 тыс. ед.

Можно было рассчитать и иначе:

у ₂₀₀₇ = у ₂₀₀₀ ∙ K _баз = 40 ∙ 1,723261= 68,93 тыс. ед.

Среднегодовой абсолютный прирост найдем по формуле:

Задача 5

В табл. 8.4 представлены данные об инвестициях в основной капитал (млн руб.).

Таблица 8.4

Годы

уt

Требуется:

а) выявить тенденцию, применяя трехчленную скользящую среднюю;

б) выявить тенденцию, применяя пятичленную скользящую среднюю;

в) сравнить полученные результаты, представив их в таблице.

Решение

1. Найдем трехчленные скользящие средние по формуле средней арифметической простой: . Отнесем к середине интервала, т.е. ― к году 2, ― к году 3 и т.д.

В результате расчетный ряд укорачивается на два уровня, так как не исчисляется скользящая средняя для первого и последнего года.

2. Найдем пятичленные скользящие средние также, как и в пункте 1, т.е. ; ; и отнесем полученные данные к середине интервала, т.е. ― к году 3; ― к году 4 и т.д.

В результате ряд укоротится на 4 уровня: отсутствуют скользящие средние для первых двух и последних двух лет (табл. 8.5).

Таблица 8.5

Годы	уt	Трехчленная скользящая средняя	Пятичленная скользящая средняя
		-	-
		18,0	-
		18,3	19,0
		20,3	19,6
		20,7	21,4
		22,7	22,6
		24,0	23,6
		25,0	24,8
		26,0	25,8
		26,0	26,8
		28,0	-
		-	-

3. Как видим, тенденция к росту инвестиций при использовании скользящих средних проявляется достаточно отчетливо. Пятичленная скользящая средняя дает лучший результат: нет ни одного случая нарушения тенденции.

Задача 6

В таблице 8.6 представлены данные о динамике городского жилищного фонда в регионе за 1999―2010 гг. (млн м² на конец года).

Таблица 8.6

22,0	22,2	22,5	22,8	23,0	23,3	23,5	24,0	24,4	24,6	25,0	25,3

Требуется провести аналитическое выравнивание ряда, используя линейный тренд. Сделать выводы.

Решение

Чтобы найти уравнение линейного тренда , вида решить систему нормальных уравнений:

где у ― исходные данные величины городского жилищного фонда;

t ― нумерация лет от 1 до 12.

Составим вспомогательную табл. 8.7.

Таблица 8.7

t	y	yt	t 2
	22,0	22,0		21,87
	22,2	44,4		22,18
	22,5	67,5		22,48
	22,8	91,2		22,79
	23,0	115,0		23,09
	23,3	139,8		23,40
	23,5	164,5		23,70
	24,0	192,0		24,00
	24,4	219,6		24,31
	24,6	246,0		24,62
	25,0	275,0		24,93
	25,3	303,6		25,23
	282,6	1880,6		282,60

Исходя из итоговой строки таблицы, имеем:

Определитель системы составит:

.
Частный определитель для параметра a составит:

.

Частный определитель для параметра b составит:

.

Соответственно, получаем следующие оценки параметров:

а= / Δ = 37003,2/1716 = 21,564,

b = = 524,4/1716 = 0,306.
Отсюда получаем уравнение тренда .

Подставив в него соответствующее значения t, определим теоретические значения (см. последнюю графу табл. 8.7).

Параметр b = 0,31 млн м² показывает, что в среднем городской жилищный фонд в регионе за год возрастал на 0,31 млн м². Исходя из этого можно предположить, что на конец 2012 г. (t = 14) жилищный фонд региона составит 25,9 млн м².

Дата добавления: 2015-05-06