Числовая последовательность и ее свойства

Пределы. Непрерывность функций

Revision. Повторение видо-временных форм активного залога

Задание. Раскройте скобки и поставьте глагол в правильной форме:

1. – (you, have) … any plans for vacation?

– Yes, I do. I (plan) … to go to the sea-side.

– (you, be, ever) … there before?

– Yes, I have. I (be) at the sea-side last year. My aunt (live) there, so I often (go) there.

2. – Where’s Jessika?

– She (study) … at the library.

– When (she, get) … back home?

– In an hour or so. Probably around five o’clock.

– How long (she, study) … at the library?

– Since two o’clock this afternoon.

– (she, study) … at the library every day?

– Not every day, but often.

3. – Shh. Irene (talk) … on the phone long-distance.

– Who (she, talk) … to?

– Her brother. They (talk) … for almost an hour. I think her brother is in some kind of trouble.

– That’s too bad. I hope it’s nothing serious.

4. – (you, know) … Mary’s new address?

– I don’t remember. But I (have) … it at home in my address book. When I (get) … home this evening, I (call) … and (give) … you her address.

– Thanks, I’d appreciate it.

–

Если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие вполне определенное число а_n, то говорят, что задана числовая последовательность {а_n}: a₁, a₂, … a_n, …

Можно сказать, что числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел а_n = f(n), nÎN.

При этом числа a₁, a₂, … называют членами последовательности, а

a_n – ее общим членом.

Примеры числовых последовательностей:

100, 200, 100*n,...;

5, -5, 5, -5, …;

0, 3/2, 2/3, 5/4, …, (1 + (-1)ⁿ/n), …

Для числовых последовательностей можно сформулировать свойства монотонности так же, как и для функций. Например, в первом из рассмотренных примеров последовательность является возрастающей и неограниченной. В остальных двух примерах последовательности монотонными не являются. Вторая последовательность является ограниченной (ее общий член по модулю не превышает 5). В последнем примере последовательность также ограничена – снизу нулем, а сверху числом 1,5.

Рассмотрим последний пример (на рисунке 2.1 члены этой последовательности изображены на числовой оси). В этой последовательности первый член равен нулю, а в остальных членах в знаменателе стоит номер члена, а числитель на единицу больше номера, если номер четный, или на единицу меньше номера, если номер нечетный. При этом легко заметить, что все нечетные члены меньше единицы, а четные – больше единицы, но с ростом номера расстояние до единицы на числовой оси становится все меньше. Действительно: |a₁ - 1| = 1, |a₂ - 1| = 1/2, |a₃ - 1| = 1/3,..., |a_n - 1| = 1/n,... Таким образом, с ростом n |a_n - 1| будет меньше любого, сколь угодно малого положительного числа.

Рисунок 2.1 – Члены числовой последовательности (пример) на числовой оси

Дата добавления: 2015-03-29