Билеты и вопросы к ним с ответами

Алгоритм Гарнера

Алгоритм Гаусса

Операции

Китайская теорема об остатках

Пусть m - натуральное число, m₁, m₂,..., m_t - взаимно простые натуральные числа, произведение которых больше либо равно m.

Теорема

Любое число x: 0 <= x <= m может быть однозначно представлено в виде последовательности r(x) = (r₁, r₂,..., r_t), где r_i = x(mod m_i).

Для любых чисел r₁.. r_t, таким образом, существует единственное число x(mod m), такое что

x = r_i(mod m_i), 1 <= i <= t

Более того, любое решение x набора такого сравнений имеет вид

x = r₁*e₁ +... + r_t*e_t (mod m), где e_i = m / m_i * ((m/m_i)^-1 mod m_i), 1 <= i <= t.

Вышеприведенная формулировка - Китайская Теорема об Остатках в том виде, в котором ее сформулировал в 1247 году нашей эры китаец Jiushao Qin.

Заметим, что число m/m_i = m₁*...*m_i-1*m_i+1*...*m_t взаимно просто с m_i, а значит обратное число в формуле для e_i всегда существует. Кроме того, имеют место равенства

e_i*e_i = e_i (mod m)
e_i * e_j = 0 (mod m), i =/= j.

Знакомым с теорией колец: Z_m = Zm₁ +... + Zm_t, сумма прямая. e_i, как следует из равенств выше - ортогональные идемпотенты в кольце Zm.

Иначе говоря, кольцо R = Zm разлагается в прямую сумму

R = R₁ + R₂ +... + R_t,

где R_i = Re_i = {a*e_i (mod m): a - целое} ~ Zm_i, 1 <= i <= t.

Последовательность (r₁,..., r_t) называется модульным представлением x. Набор модульных представлений для всех x: 0 <= x <= m называется системой вычетов.

Сумма представлений - последовательность w_i = r_i + u_i mod m_i

Произведение - последовательность z_i = r_i * u_i mod m_i.

Как восстановить число по системе вычетов?

Очевидный алгоритм получается, если вычислять x по формуле, данной в теореме:

На входе:
положительные взаимно простые m₁,..,m_t
целые r₁,.., r_t
На выходе:
Целое число x:
x = r_i (mod m_i), 1 <= i <= t
0 <= x <= m, m = m₁*..*m_t

1. Вычислить m = m₁*..*m_t, положить x=0.
2. for i=1, 2,.., t do
вычислить y_i = m/m_i
вычислить расширенным алгоритмом Евклида s_i = y_i^-1 mod m_i
c_i = r_i*s_i mod m_i
x = x + c_i*y_i (mod m)
3. Возвратить x

Пусть все m_i > 1, m = m₁*..*m_t. Тогда любое число 0 <= x < m может быть однозначным образом представлено в виде

x = x₀ + x₁m₁ + x₂m₁m₂ +... + x_t-1m₁m₂*...*m_t-1,

где 0 <= x_i < m_i+1, i = 0, 1,.., t-1.

Для x_i верно соотношение

xi =	ri+1 - (x0 + x1m1 +.. + xi-1m1mi-1)	(mod mi+1)
m1*..*mi

Таким образом, x_i могут быть вычеслены один за другим. Получившийся алгоритм носит имя Гарнера(Garner). Он также пригоден для аналогичных операций с полиномами (в предыдущем алгоритме требуются некоторые изменения).

1. For i from 2 to t {
1.1 C_i:= 1;
1.2 For j from 1 to (i-1) {
u:= m_j^-1 mod m_i;
C_i:= u*C_i mod m_i;
}
}
2. u:= r₁; x:= u;
3. For i from 2 to t {
u:= (r_i-x)C_i mod m_i;
x:= x + u* [ Произведение m_j от j=1 до i-1 ];
}
4. return (x);

Пример: пусть
m₁=5, m₂=7, m₃=11, m₄=13,
m = m₁*m₂*m₃*m₄ = 5*7*11*13 = 5005,
r(x) = (2, 1, 3, 8).

Константы C_i: C₂=3, C₃=6, C₄=5.

Значения (i, u, x), вычисленные на шаге 3: (1, 2, 2); (2, 4, 22); (3, 7, 267) и (4, 5, 2192).

Таким образом модульное представление r(x) отвечает x = 2192.

Примечание Нахождение m^-1 - обратного элемента по модулю можно осуществить опять по алгоритму Евклида.

для проведения зачёта с оценкой по ОБЖ с учащимися 11-х классов

Дата добавления: 2015-04-23