Арктангес числа

Функция косинуса убывает на отрезке [0; π] и принимает значения от -1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числа a, такого, что |a|≤1, в промежутке [0; π] существует единственный корень b уравнения cos(x)=a. Это число b называют арккосинусом числа a и обозначают arccos(a) (см. рисунок ниже).

Определение: Арккосинусом числа a называется такое число из отрезка [0; π], косинус которого равен a.

Функция синуса возрастает на отрезке [-π/2; π/2] и принимает значения от -1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числа a, такого, что |a|≤1, в промежутке [-π/2; π/2] существует единственный корень b уравнения sin(x)=a. Это число b называют арксинусом числа a и обозначают arcsin(a) (см. рисунок ниже).

Определение: Арксинусом числа a называется такое число из отрезка [-π/2; π/2], синус которого равен a.

Функция тангенса возрастает на интервале (-π/2; π/2) и принимает все значения из поля действительных чисел. Следовательно, по теореме о корне для любого числа a на интервале (-π/2; π/2) существует единственный корень b уравнения tg(x)=a. Это число b называют арктангенсом числа a и обозначают arctg(a) (см. рисунок ниже).

Определение. Арктангенсом числа a называется такое число из интервала (-π/2; π/2), тангенс которого равен a.

г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2

а) Область определения: D (tg x) = R \ {

/2 +

n (n

Z) }.

г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T =

ж) Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

Производная, её геометрический и механический смысл

Производная степенной функции

Если f(x) = x^p, где p - действительное число, то

Если показатель степени является отрицательным числом, т.е. f(x) = x^−p, то

№24 Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в этой точке.

Рассмотрим график функции y = f (x):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

xf (x 0+

x)− f (x 0)= tg

, где

- угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то

x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. Уравнение касательной Производной функции f (x) в точке x ₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке

f = f (x 0+

x)− f (x 0) к приращению аргумента

x при

0: f

(x 0)= lim

xf (x 0+

x)− f (x 0). Геометрический смысл производной Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в этой точке.

№25 Правила дифференцирования Если функции f и g дифференцируемы в точке x 0 то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если g

(x 0)

=0) этих функций, причем

(f + g) = f + g
(f g) = f g + f g
(fg) = g 2 f g − f g

Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной: (Cf) ' = Cf'. В частности, С'=0

Если f дифференцируема, то fn где n N также дифференцируема, причем (fn) = nfn −1 f
Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки x 0 причем f (x 0) =0, то функция x = (y), обратная к функции y = f (x), дифференцируема в точке y 0 = f (x 0), причем (x 0)=1 f (x 0).
Если функции y = f (x) и z = g (y) дифференцируемы в точках x 0 и y 0 = f (x 0) соответственно, то сложная функция z = g (f (x)) дифференцируема в точке x ₀, причем z (x 0)= g (y 0) f (x 0).
Дифференциал функции y = f (x) имеет один и тот же вид dy = f (x) dx как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – дифференцируемая функция другого переменного.
Если f (x) – четная функция, то f (x) – нечетная; если f (x) – нечетная функция, то f (x) – четная.
Пусть в окрестности точки t ₀ определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна и строго монотонна. Пусть в этой окрестности существуют производные x (t 0) =0 и y (t 0) Тогда сложная функция y = y (t (x)), где t (x) – функция, обратная x (t), дифференцируема по x, причем dxdy = x (t) y (t).

Производная Ключевые слова: функция, производная, правила нахождения производной, сложная функция Производная — основное понятие дифференциального исчесления, характеризующее скорость изменения функции. Производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Основные правила дифференцирования: · Если функция константа, т.е. y = C, где C - число, то (С)

=0. · Если функции u и v дифференцируемы в точке x, то (v + u)

= v

+ u

. · Если функция Cu, где C - постоянная, дифференцируема в точке x, то (С u)

=С u

. · Если функции u и v дифференцируемы в точке x, то (u

= u

v + u

. · Если функции u и v дифференцируемы в точке x и v (x)

=0, то (vu)

= v 2 u

v − u

. Дифференцирование сложной функции. Рассмотрим функцию y = sin x². Чтобы найти значение этой функции в фиксированнной точке x нужно: 1) вычислить x²; 2) найти значение синуса от полученного значения x². Иными словами, сначала надо найти значение g (x) = x², а потом найти sin g (x). В подобных случаях говорят, что задана сложная функция y = f (g (x)). В нашем примере u = g (x) = x², а y = f (u) = sin u. Пусть y = f (g (x)) - сложная функция, причем функция u = g (x) дифференцируема в точке x, а функция y = f (u) дифференцируема в соответствующей точке u. Тогда функция y = f (g (x)) дифференцируема в точке x, причем y

= f

(g (x))

(x). Запись f '(g (x)) означает, что производная вычисляется по формуле для f '(x), но вместо x подставляется g (x).

Функция y=tgx 1) y= tg x, x

/2, k e z y^/=(tg x)^/=(sin x)/(cos x)= ((sin x)^/cos x- sin x(cos x)^/)/cos²x= 1/cos²x;=>(tg x)^/=1/cos²x