Проблема сравнения коэффициентов связи

Коэффициенты связи для четырехклеточных таблиц сопряженности. Отношения преобладаний

Четырехклеточные таблицы – это частотные таблицы, построенные для двух дихотомических признаков. Встает вопрос – надо ли изучать эти таблицы отдельно? Ведь они представляют собой частный случай всех возможных таблиц сопряженности. Выше мы обсуждали коэффициенты, которые можно использовать для анализа любой частотной таблицы, в том числе и для четырехклеточной. Однако ответ на наш вопрос положителен. Причин тому несколько.

Во-первых, многие известные коэффициенты для четырехклеточных таблиц оказываются равными друг другу. И по крайней мере надо знать об этом, чтобы не осуществлять заведомо ненужные выкладки.

Во-вторых, оказыватся, что именно в анализе четырехклеточных таблиц можно увидеть нечто полезное для социолога, но не высвечивающееся на таблицах большей размерности.

В-третьих, с помощью анализа специальным образом организованных четырехклеточных таблиц оказывается возможным перейти от изучения глобальных связей к изучению локальных и промежуточных между первыми и вторыми (о промежуточных связях мы говорили в п.2.2.1).

Итак, рассмотрим два дихотомических признака – Х и Y, принимающие значения 0 и 1 каждый, и отвечающую им четырехклеточную таблицу сопряженности (табл. 14).

Ниже будем использовать пример, когда рассматриваются два дихотомических признака – пол (1 – мужчина, 0 – женщина) и курение (1 – курит, 0 – не курит) (см. табл. 15).

Таблица 14.

Общий вид четырехклеточной таблицы сопряженности

X	Y	Итого
	a	b	a+b
	c	d	c+d
Итого	a+c	b+d	a+b+c+d

буквы в клетках обозначают соответствующие частоты

Таблица 15.

Пример четырехклеточной таблицы сопряженности

Курение	Пол	Итого
м	ж
Курит
Не курит
Итого

Данные таблицы 15 говорят о том, что в нашей совокупности имеется 90 мужчин, из которых 80 человек курят, и 10 женщин, среди которых 4 человека курящих и т.д.

Все известные коэффициенты связи для четырехклеточных таблиц основаны на сравнении произведений ad и bc. Если эти произведения близки друг к другу, то полагаем, что связи нет. Если они совсем не похожи – связь есть. Основано такое соображение на том, что равенство эквивалентно равенству , что, в свою очередь, означает пропорциональность столбцов (строк) нашей частотной таблицы, т.е отсутствие статистической связи. Чем более отличны друг от друга указанные произведения, тем менее пропорциональны столбцы (строки) и, стало быть, тем больше оснований имеется у нас полагать, что переменные связаны. Для обоснования этого утверждения могут быть использованы те же рассуждения, что были приведены выше. А именно, можно показать, что разница между наблюдаемой и теоретической частотой для левой верхней клетки нашей четырехклеточной частотной таблицы (нетрудно проверить, что наличие или отсутствие связи для такой таблицы определяется содержанием единственной клетки - при заданных маргиналах частоты, стоящие в других клетках, можно определить однозначно) равна величине [Кендалл, Стьюарт, 1973. С. 722]:

Коэффициенты, основанные на описанной логике, могут строиться по-разному. Но всегда они базируются либо на оценке разности (), либо на оценке отношения . В первом случае об отсутствии связи будет говорить близость разности к нулю, во втором – близость отношения к единице. Естественно, ни разность, ни отношение не могут служить искомыми коэффициентами в “чистом” виде, поскольку их значения зависят от величин используемых частот. Требуется определенная нормировка. И, как мы уже оговаривали выше, желательно, чтобы искомые показатели связи находились либо в интервале от -1 до 1, либо – от 0 до 1, Возможны разные ее варианты. Это обуславливает наличие разных коэффициентов – показателей связи для четырехклеточных таблиц. Рассмотрим два наиболее популярных коэффициента.

Коэффициент ассоциации Юла:

и коэффициент контингенции

Коротко рассмотрим их основные свойства.

Оба коэффициента изменяются в интервале от -1 до +1 (значит, для них имеет смысл направленность связи; о том, что это такое в данном случае, пойдет речь ниже). Обращаются в нуль в случае отсутствия статистической зависимости, о котором мы говорили выше (независимость признаков связана с пропорциональностью столбцов таблицы сопряженности). А вот в единицу (или - 1) эти коэффициенты обращаются в разных ситуациях. Они схематично отражены ниже.

Свойства коэффициентов:	Q = 1	Q = -1	Ф = 1	F = -1
Отвечающие им виды таблиц	a			b	a			b
c	d	c	d		d	c
a	b	a	b
	d	c
(а)	(б)	(в)	(г)

Рис. 16. Схематическое изображение свойств коэффициентов Q и Ф.

Таким образом, мы видим, что Q обращается в 1, если хотя бы один элемент главной диагонали частотной таблицы равен 0. Для обращения же в 1 коэффициента F необходимо обращение в 0 обоих элементов главной диагонали. Нужны ли социологу оба коэффициента? Покажем, что каждый из них позволяет выделять свои закономерности. Или, как мы говорили выше – за каждым из них стоит своя модель изучаемого явления, свое понимание связи, выделение как бы одной стороны того, что происходит в реальности. Постараемся убедить читателя, что социолога должны интересовать обе эти стороны.

Предположим, что в нашем распоряжении имеется лишь коэффициент F и мы даем задание ЭВМ для каких-то массивов данных выдать нам все такие четырехклеточные таблицы, для которых этот коэффициент близок к единице (может быть, мы хотим найти все те признаки, для которых имеется связь для респондентов некоторой фиксированной совокупности, а, может быть – изучаем, для каких совокупностей респондентов имеется сильная связь между какими-то конкретными признаками). ЭВМ выдаст нам набор таблиц типа (в) или (г). Мы будем знать, к примеру, что имеются группы респондентов, для которых имеется сильная связь между полом и курением: все мужчины курят, а все женщины не курят (что довольно распространено) или наоборот – все женщины курят, а мужчины – нет (что имеет место, скажем, для некоторых индейских племен). Но мы “не заметим”, что для каких-то групп все мужчины курят, в то время как среди женщин встречаются и курящие, и не курящие, либо все женщины не курят, хотя мужчины ведут себя по-разному - могут и курить, и не курить (случай (а)). Думается, что не требует особого доказательства утверждение о том, что социолог, не умеющий выискивать подобные ситуации, рискует много потерять. Аналогичное утверждение справедливо и относительно ситуаций, обохзначенных буквой (б).

Другими словами, не используя коэффициент Q, социолог рискует не заметить интересующие его закономерности. Перефразируя сказанное выше вспомнив, что связь также имеет отношение и к прогнозу, отметим, что эти не замеченные закономерности отвечают ситуациям, когда мы по одному значению первого признака можем прогнозировать значение второго, а по другому значению не можем: скажем, зная, что респондент - мужчина, мы с полной уверенностью можем сказать, что он курит, а зная, что респондент - женщина - никакого прогноза, вообще говоря, делать не можем (нижняя таблица случая (а)). Вряд ли можно сомневаться, что выявление и такой “половинчатой” возможности прогноза для социолога может быть полезной.

Рассмотрим теперь вопрос: не можем ли мы обойтись без коэффициента F? Представляется очевидным отрицательный ответ на него: выявляя значимые ситуации только с помощью Q, мы можем “за деревьями не увидеть леса” - не заметить, что в отдельных случаях мы может прогнозировать не только по одному значению того или иного признака, но и по другому тоже.

Описанное различие между коэффициентами Q и Ф нашло свое отражение в терминологии. Та связь, которую отражает Q, была названа полной, а та, которую отражает Ф, - абсолютной.

Еще раз определим эти виды связи, несколько видоизменив формулировку. Для этого вспомним, что, зная маргиналы четырехклеточной таблицы сопряженности, о связи между двумя дихотомическими признаками можно судить по одной частоте. Чаще всего для этого используют n₁₁. Обозначим отвечающие этой частоте значения наших признаков через А и В. Например, А означает “мужчина”, а В – “курит”. В таком случае говорят, что связь между А и В полная, если все А являются одновременно В, несмотря на то, что не все В являются одновременно А (все мужчины курят, но не все курящие являются мужчинами). Если же все А являются одновременно В и все В являются одновременно А (т.е. если все мужчины курят и все курящие – мужчины), то связь называется абсолютной. Иногда для обозначения тех же свойств рассматриваемой связи используют иную терминологию – говорят, что Q измеряет одностороннюю связь, а Ф – двустороннюю.

Поясним теперь, в чем смысл знака рассматриваемой связи. Для этого заметим, что приведенные выше рассуждения можно переформулировать, говоря не о том, что все А являются одновременно В, а о том, что свойства А и В сопрягаются друг с другом (таблица сопряженности потому так и названа, что ее придумали для того, чтобы изучать, какие значения разных признаков “ходят” вместе, сопрягаются друг с другом). Термины “положительный” и “отрицательный”, испоьзуемые для характеристики связи, носят весьма относительный характер: “положительность” означает, что какое-то значение первого признака сопрягается с одним значением другого, а “отрицательность” – с другим (при наличии положительной связи все мужчины курят, и при наличии отрицательной – все мужчины не курят).

Однако сказанное становится весьма нечетким утверждением при отсутствии нулевых клеток в таблице сопряженности. Например, трудно понять, с каким значением признака "курит – не курит" сопрягается мужской пол, если данные представлены таблицей:

Таблица 16

Частотная таблица для демонстрации отношения преобладаний

Курение	Пол	Итого
м	ж
Курит
Не курит
Итого

С одной стороны, среди курящих больше женщин, чем мужчин. И среди женщин больше курящих, чем некурящих. Но правильно ли будет сказать, что свойство "курит" сопрягается с женским полом? Ведь если среди мужчин курящих в 2,5 раза (50:20) больше курящих, чем некурящих, то среди женщин – лишь в 2,25 раза (90:40). Строгое определение положительной и отрицательной связи можно дать с помощью введения понятия отношения преобладаний [Rudas,1998]:

или, в общем случае (обозначения – как в таблице 14):

Если отношение преобладания больше единицы, то связь называется положительной, если меньше единицы – то отрицательной. (Отношение преобладания обобщается на многомерный случай, о чем коротко пойдет речь в п. 2.3.5.).

И еще об одном очень важном моменте необходимо сказать. Если мы, используя обозначения 0 и 1 для значений наших признаков, будем интерпретировать эти обозначения как настоящие числа, то, как нетрудно проверить, вычисленный по обычным правилам коэффициент корреляции между признаками окажется равным Ф. Будучи обобщенным, этот факт имеет огромное значение для анализа данных. Дело в том, что одним из популярных способов создания возможности использования числовых математико-статистических методов для анализа номинальных (нечисловых!) данных является т.н. дихотомизация последних: замена (по определенным правилам) одного номинального признак таким количеством дихотомических, принимающих значения 0 и 1, сколько в этом признаке альтернатив и дальнейшая “работа” с этими 0 и 1 как с обычными числами. Этот подход не имеет строгого математического обоснования. Его “оправдание” состоит в том, что все числовые статистики, рассчитанные по обычным правилам, оказывается возможным разумно проинтерпретировать. Именно пример этого мы и видели выше: коэффициент корреляции, вычсленный для 0 и 1, оказался разумной величиной, совпал с Ф. Вернемся к этому в п. 2.6.3.

О коэффициентах связи для четырехклеточных таблиц можно прочесть в [Интерпретация и анализ..., 1987. С.29-30; Лакутин, Толстова, 1990, 1992; Паниотто, Максименко, 1982.С.84-93; Рабочая книга..., 1983. С.189; Статистические методы... 1979. С.116-117; Libetrau, 1989]

23. Проблема сравнения коэффициентов связи. Учет фактической многомерности реальных связей. Многомерные отношения преобладаний.

Заканчивая обсуждение вопроса о коэффициентах связи типа “признак-признак”, необходимо упомянуть актуальную для социологии проблему сравнения всех таких коэффициентов. Однако здесь мы не будем ее подробно обсуждать, отнеся читателя к соответствующей литературе [Елисеева, Рукавишщников, 1982. С.89-101; Интерпретация и анализ..., 1987.С.34-36; Лакутин, Толстова, 1990, 1992; Миркин, 1980.С.94-109; Паниотто, Максименко, 1982. С.124-125; Рабочая книга...,1983. С.191-192].

Отметим лишь очень коротко несколько отдельных моментов.

Любой критерий сравнения, как всякий подход к математическому анализу данных, основан на предположениях о том, что реальности адекватны некоторые формальные построения, отражающие определенные аспекты интерпретации исходных данных. Другими словами, для того, чтобы можно было говорить о сравнении, необходимо заранее сформировать некоторую модель того, что мы понимаем под схожими (несхожими) коэффициентами.

Наиболее обоснованное теоретически и часто использующееся в статистической литературе основание для сравнения рассматриваемых коэффициентов базируется на обсужденном выше предположении о том, что за каждым номинальным признаком стоит некоторая латентная непрерывная количественная переменная. Коротко говоря, суть соответствующих подходов заключается в следующем. Исследователь моделирует с помощью ЭВМ некоторую “генеральную совокупность”, описываемую двумя непрерывными переменными с заданным коэффициентом корреляции между ними. Затем упомянутые переменные искусственным образом превращаются в номинальные, из “генеральной” совокупности формируется множество выборок и для каждой из них подсчитываются подлежащие сравнению коэффициенты. Когда выборок организуется достаточно много, появляется возможность сравнения “поведения” отдельных коэффициентов друг с другом.

Сказанное в предыдущих параграфах свидетельствует о том, что все рассмотренные коэффициенты различны. За каждым стоит своя модель, свое понимание этой связи. Вопрос о том, какова же истинная связь между переменными, если такой -то коэффициент равен 0,7, а такой-то - 0,2, не имеет смысла. В описанной ситуации можно сказать только то, что связь в первом смысле (смысле, отвечающем первому коэффициенту) более высока, чем связь во втором смысле. И для того, чтобы найти “истинную” связь, надо использовать целый набор коэффициентов. Каждый их них как бы отвечает отдельной стороне “истины”. А для того, чтобы “истина”, как бриллиант, засверкала всеми своими гранями, необходимо иметь эти грани перед глазами все сразу, “поворачивая” нашу связь в разные стороны.

Однако имеет смысл сказать не только о различии, но и о сходстве разных коэффициентов. Если посмотреть на них с другой стороны, окажется, что не так уж сильно они расходятся друг с другом. И это не случайно – все-таки речь идет о разных способах формализации одного и того же явления – интуитивно понимаемой связи между переменными. Действительно, можно показать (и это в определенной мере демонстрировалось выше), что так или иначе, в разной степени, но все коэффициенты основаны на представлении о том, что существование связи между двумя признаками означает одновременное соблюдение следующих условий: сильное отклонение от пропорциональности столбцов (строк) исходной таблицы сопряженности; улучшение качества прогнозна значений одного признака при получении информации о значении другого; тот факт, что определенные значения одного признака “любят” встречаться вместе с определенными значениями другого признака. Однако относительно последнего обстоятельства можно заметить следующее (приведем цитату из [Кендалл, Стьюарт, 1973. С. 724]).

"Следует обратить внимание на то, что статистическая связь отличается от связи в обычном смысле. В повседневной речи мы говорим, что А и В связаны, если они достаточно часто встречаются вместе, а в статистике они считаются связанными только в том случае, если А встречается относительно чаще среди В, чем среди не-В. Если 90% курящих страдают плохим пищеварением, то мы не можем сказать, что курение и плохое пищеварение связаны, пока не будет показано, что среди некурящих страдают плохим пищеварением менее, чем 90%." Последнее обстоятельство связано с тем, о чем пойдет речь в следующем параграфе.

Дата добавления: 2015-04-23