Элементы статистической обработки данных 2 страница

Внедрение в правовые эргасистемы современных эффективных информационных технологий требует больших материальных затрат как на разработку наукоемкой информационной техники и программно-алгоритмического обеспечения, так и на подготовку специалистов технического, информационного и информационно-правового профиля.

29. Понятие абсолютной и относительной величины. Проценты. Практический пример.

При исследовании того или иного социального явления (например, преступности) важную роль играют сбор и обработка статистических данных, которые несут информацию об этом явлении. Цель обработки данных состоит в получении обобщающих характеристик изучаемого явления. В юридической статистике разработана целая система обобщающих характеристик. Здесь мы остановимся только на таких показателях, которые представлены абсолютными и относительными величинами.

Абсолютная величина – количественная характеристика объема (размера) изучаемого явления в определенных временных и/или пространственных границах. Абсолютную величину получают путем суммирования статистических данных об изучаемом явлении. Абсолютная величина всегда именованное число, то есть имеет размерность, связанную с принятой единицей измерения. Отметим, что в статистике термин «абсолютная» не имеет толкования «модуль» в математике. В статистике абсолютная величина может быть и отрицательной.

Одна из основных операций при анализе статистических данных – сравнение числовых величин, характеризующих изучаемое явление. Непосредственное сравнение абсолютных величин, характеризующих это явление в различные моменты времени или в разных точках пространства, не всегда приводит к верным выводам (см. табл. 2.3 ниже). Более продуктивным оказывается сравнение относительных величин.

Относительная величина – количественная мера соотношения двух абсолютных величин, одна из которых принимается за базу сравнения. Вычисляют относительную величину путем деления сравниваемой абсолютной величины на базу сравнения. Ниже рассматриваем только отношение абсолютных величин, имеющих одну и ту же размерность. Полученная так относительная величина характеризует распределение исследуемого явления в пространстве или развитие его во времени.

В тех случаях, когда модуль отношения абсолютных величин лежит в пределах [~10^-3, ~5], относительную величину удобно выражать в процентах. Для этого базе сравнения B ставят в соответствие 100%, а сравниваемой абсолютной величине A отвечают A%. Так составляют пропорцию

= ,

которая лежит в основе всех операций с процентами.

Когда заданы величины A и В, то A% вычисляют так:

A%= %. (2.4)

Таблица 2.3
Регион	П – число лиц, совершивших преступления (тыс. чел)	Н – население (тыс. чел)	П%=
Тамбовская обл.	9.22	1088.44	0.85%
Тульская обл.	9.54	1540.38	0.62%

Пример. По данным Федеральной службы государственной статистики за 2009 год составлена табл. 2.3.

Сравнение абсолютных величин П приводит к выводу о том, что положение с преступностью в Тульской обл. хуже, чем в Тамбовской. Однако сравнение относительных величин П%, полученных по формуле (2.4), дает противоположный результат, который и отвечает фактическому состоянию преступности в этих регионах.

Когда же заданы значения A% и В, величину A находят так:

A=B´ . (2.5)

Пример. В 2009 году число лиц (тыс.), совершивших преступления в России, оказалось равным 1219.8. Из них 15.9% – женщины. Абсолютное число женщин найдем по формуле (2.5):

женщины: =193.9.

А если заданы A и A%, то базу B находят по формуле

B=A´ . (2.5)

Пример. В 2009 году в РФ осуждено лиц (тыс.) 892.2, что составило 73.1% от числа лиц, совершивших преступления в России в этом же году. По формуле (2.5) найдем число лиц, совершивших преступления в России в 2009 году:

892.2´ =1220.5.

Полученный результат 1220.5¹1219.8 (см. выше) обусловлен погрешностями округления и абсолютных, и относительных величин.

30. Расчет темпов роста и темпов прироста при базисном способе вычисления Практический пример.

31. Понятие абсолютной и относительной величины. Расчет темпов роста и темпов прироста при цепном способе вычисления. Практический пример.

Рассмотрим еще две относительные величины, которые характеризуют развитие изучаемого явления в заданном временном интервале и которые тоже выражаются в процентах. В этом случае задана таблица, в первой строке которой приведены отсчеты времени T_i (месяцы, годы), а во второй – значения абсолютных величин A_i в эти моменты времени (i= ). Тогда динамика развития исследуемого явления на интервале от T₀ до T_n характеризуется его темпом роста и темпом прироста.

Темп роста ТР_i – выраженное в процентах отношение абсолютной величины A_i в данный момент к базовой величине A_Б.

Темп прироста ТП_i – выраженное в процентах отношение разности A_i-A_Б абсолютной величины в данный момент времени и базовой величины к базовой величине A_Б.

Применяют два способа вычисления названных показателей динамики: базисный и цепной. Различаются они заданием базовой величины A_Б.

Базисный способ. В этом случае величина A_Б одна и та же для всех моментов времени. Обычно в качестве базы выступает значение абсолютной величины в начальный момент времени: A_Б=A₀. Тогда базисным способом темп роста ТРБ_i и темп прироста ТПБ_i вычисляют так:

ТРБ_i= , i= .

ТПБ_i= =ТРБ_i-100%, i= .

Таблица 2.4
i
Ti
Ai
ТРБi%	100.00	105.00	113.10	118.78	108.58
ТПБi%		+05.00	+13.10	+18.78	+08.58

Пример. В табл. 2.4 приведены вычисленные базисным способом показатели динамики числа таких преступлений в РФ за 2006-2010 годы, как взяточничество.

Как видим, к 2009 года количество таких преступлений как взяточничество в РФ выросло по отношению 2006 году на 18.78%. А в 2010 году оно снизилось и составило 108.58% от уровня 2006 года.

Цепной способ. В этом случае величина A_Б – переменная. Для данного момента времени она равна значению абсолютной величины в предыдущий момент времени: A_Б=A_i-1. Тогда цепным способом темп роста ТРЦ_i и темп прироста ТПЦ_i вычисляют так:

ТРЦ_i= , i= .

ТПЦ_i= =ТРЦ_i-100%, i= .

Таблица 2.5
i
Ti
Ai тыс.
ТРЦi%	-	105.00	107.71	105.03	91.41
ТПЦi%	-	+05.00	+07.71	+05.03	-08.59

Пример. В табл. 2.5 приведены вычисленные цепным способом показатели динамики числа таких преступлений в РФ за 2006-2010 годы, как взяточничество.

Как видим, с 2006 до 2009 года количество таких преступлений как взяточничество в РФ росло от года к году на 5-7 процентов. А в 2010 году оно уменьшилось на 8.59% по отношению к 2009 году.

32. Понятие закона распределения случайной величины. Законы распределения дискретных случайных величин. Ряд распределения. Практический пример.

Законы распределения случайных величин

Всякое соотношение, которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями этих значений, называют законом распределения этой СВ.

Изучение законов распределения начнем с дискретных случайных величин.

Ряд распределения. Обозначим дискретную СВ как X, а набор ее отсчетов – как x₀, x₁,…, x_n. Исход случайного эксперимента – событие X=x_k характеризуется вероятностью P(X=x_k)=p_k. Факт равенства чисел X=x_k устанавливают путем последовательного сравнения цифр в одноименных разрядах записей X и x_k (см. рис. 8.2). Если имеет место a_i=b_i для всех i=r,r-1,¼,-m, то числа X и x_k равны.

X=

a_r

a_r-1

¼

a₀.

a_-1

¼

a_-m+1

a_-m

x_k=

b_r

b_r-1

¼

b₀.

b_-1

¼

b_-m+1

b_-m

=

=

=

=

=

=

¼

¼

Рис. 8.2

Сопоставим каждому отсчету x_k случайной величины X вероятность p_k. В результате получим закон распределения дискретной СВ X. Самой простой формой записи закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в первой строке которой перечисляются ее отсчеты x_k, а во второй – вероятности p_k. Такую таблицу {x_k,p_k} и называют рядом распределения.

Очевидно, что события X=x_k, k= образуют полную группу, и поэтому .

Пример. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0.6. Построить ряд распределения для числа попаданий в мишень при трех выстрелах.

Обозначим как Z дискретную случайную величину – число попаданий в мишень. Набор ее значений: z₀=0, z₁=1, z₂=2, z₃=3. Опыт укладывается в схему Бернулли. Поэтому вероятность события Z=z_k вычисляем по формуле Бернулли:

p₀= =0.4³=0.064, p₁= = ´0.6´0,4²=0.288,

Таблица 8.1
zk
pk	0.064	0.288	0.432	0.216

p₂= = ´0.6²´0.4=0.432, p₃= =0.6³=0.216.

Теперь составляем табл.8.1 – ряд распределения случайной величины Z.

33. Основные характеристики дискретных случайных величин. Написать и пояснить формулы математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Практический пример.

Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения той или иной случайной величины описывает ее с вероятностной точки зрения в полной мере. Любые задачи, связанные со случайными величинами, могут быть решены с помощью законов распределения. Однако далеко не все задачи подобного рода требуют для их решения такой тяжелой артиллерии. Бывает достаточно оперировать с компактными характеристиками, отражающими самые существенные особенности случайных величин. Для этих целей и служат числовые характеристики случайных величин. В первую очередь, это математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Математическое ожидание МО характеризует местоположение случайной величины на числовой оси. Это своего рода центр тяжести всего массива ее отсчетов. Обозначают математическое ожидание случайной величины X как M[X], либо как m_x. Математическое ожидание случайной величины X называют еще и ее средним.

Дисперсия случайной величины X характеризует разброс (рассеяние, распределение) ее отсчетов на числовой оси относительно математического ожидания m_x этой случайной величины. Обозначают дисперсию случайной величины X как D[X] или как D_x.

Пусть математическое ожидание m_x случайной величины X задано. Тогда дисперсия случайной величины вычисляется так:

D[X]=M[X²]-(m_x)², (8.8)

а именно, дисперсия СВ равна разности между ее средним квадратом и квадратом ее среднего.

Центрированной случайной величиной X_Ц, соответствующей X, называется отклонение X от ее математического ожидания m_x:

X_Ц=X-m_x.

Геометрически переход от X к X_Ц означает перенос начала координат на числовой оси в точку m_x. Иногда удобнее бывает вычислять дисперсию по формуле

D[X]=D_x=M[(X-m_x)²=M[(X_Ц)²], (8.9)

то есть дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата соответствующей ей центрированной случайной величины X_Ц.

Отметим существенный факт. Если размерность математического ожидания m_x совпадает с размерностью самой случайной величины X, то дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Удобнее было бы оперировать с числовыми характеристиками одной размерности. Для этого из дисперсии извлекают корень квадратный. Полученную величину называют средним квадратическим отклонением СКО случайной величины X и обозначают как s_x:

s_x= . (8.10)

Размерность СКО совпадает с размерностью случайной величины.

Рассмотрим числовые характеристики дискретных случайных величин.

МО дискретной случайной величины вычисляют так:

M[X]=m_x=x₀´p₀+x₁´p₁+¼+x_n´p_n= . (8.11)

Как видим, математическое ожидание дискретной случайной величины – это взвешенная сумма ее отсчетов, когда каждый отсчет x_k умножается на свою вероятность p_k (на свой вес), и полученные произведения суммируются.

Дисперсия дискретной СВ по формуле (8.8) вычисляется так:

D_x= . (8.12)

Таблица 8.2
qk
pk	0.2	0.3	0.4	0.1
Таблица 8.3
rk	-3
pk	0.2	0.5	0.2	0.1

Пример. В табл. 8.2 и 8.3 заданы законы распределения дискретных величин Q и R, соответственно. Найдем числовые характеристики этих случайных величин.

Рис. 8.7

-3

-1

q

r

s_q

s_q

m_q

s_r

s_r

m_r

На рис. 8.7 показано размещение отсчетов случайных величин Q и R на числовой прямой. Сначала по формуле (8.11) вычисляем математические ожидания для случайных величин Q и R:

m_q=1´0.2+2´0.3+5´0.4+7´0.1=3.5 (см. рис. 8.7),

m_r=-3´0.2+3´0.5+7´0.2+12´0.1=3.5 (см. рис. 8.7).

Как оказалось, Q и R имеют одинаковые средние: m_q=m_r=3.5. Но легко заметить (рис. 8.7), что отсчеты R относительно m_r разбросаны сильнее, чем отсчеты Q относительно m_q.

По формулам (8.12) и (8.10) вычислим дисперсии и СКО для случайных величин Q и R:

D_q=1²´0.2+2²´0.3+5²´0.4+7²´0.1-3.5²=4.05,

s_q=2.01 (рис. 8.7),

D_r=(-3)²´0.2+3²´0.5+7²´0.2+12²´0.1-3.5²=18.25,

s_r=4.27 (рис. 8.7).

Как видим, большему разбросу отсчетов случайной величины отвечают большие дисперсия и СКО.

Пример. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины Z (табл. 8.1).

Действуя по формуле (8.11), находим МО для дискретной СВ Z:

M[z]=m_z=0´0.064+1´0.288+2´0.432+3´0.216=1.8.

Значит, центром тяжести для точек z={0, 1, 2, 3} из (табл. 8.1) будет точка m_z=1.8.

Действуем по формулам (8.10) и (8.10):

D_z=0²´0.064+1²´0.288+2²´0.432+3²´0.216-1.8²=0.72.

s_z=0.85.

Дата добавления: 2015-04-24