Аналитическая геометрия

1.

Прямая на плоскости: общее уравнение; уравнение в отрезках; уравнение с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Нормаль прямой. Вычисление угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

1)Общее уравнение прямой.

Теорема об общем уравнении прямой. В ДПСК любая прямая определяется уравнением степени и наоборот любое уравнение степени определяет прямую.  

Доказательство

– прямая на плоскости

(фиксированная точка прямой)

( ) (произвольная точка прямой)

M

(произвольный вектор прямой )

- вектор нормали

(1)

уравнению (1) удовлетворяют все точки прямой .

(1) – уравнение прямой с нормальным вектором проходящей через .

(2)

Уравнение (2) – общее уравнение прямой

Анализ общего уравнения прямой:

1) Если С=0 прямая проходит через (0;0)

2)

y

Если А=0

3) Если В=0

4)

M

y

Если А=0, С=0 - прямая совпадает с

5) Если B=0, С=0 - прямая совпадает с

A

2)Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

x

x

– угол наклона прямой к

- угловой коэффициент прямой (3)

(3) – уравнение прямой, проходящей через точку () угловым коэффициентом k.

(4)

(4) – уравнение прямой с угловым коэффициентом

; b – отрезок, отсекаемый прямой от оси

Анализ уравнения прямой с угловым коэффициентом:

1) Если k=0

2) Если b=0 – прямая проходит через (0;0)

3)Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Пусть - 2 фиксированные точки; – произвольная точка.

(5)

(5) – уравнение прямой, проходящей через 2 точки

, любой вектор параллельный прямой называется направляющим вектором. – направляющий вектор.

(6)

(6) – каноническое уравнение прямой, где .

4)Уравнение прямой «в отрезках»

Пусть не проходит через начало координат

Пусть

Подставим в (5)

(7) – уравнение прямой «в отрезках»

a,b – отрезки отсекаемые прямой от осей соответственно.

Условие параллельности
Условие перпендикулярности
Угол между прямыми

2.

Плоскость в пространстве: общее уравнение; уравнение в отрезках; уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору; уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Нормаль плоскости. Вычисление угла между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

1)Общее уравнение плоскости.

Теорема об общем уравнении плоскости. Каждая плоскость задается уравнением степени в ДПСК и наоборот каждое уравнение степени определяет плоскость.    

Теорема об общем уравнении прямой.

В ДПСК любая прямая определяется уравнением степени и наоборот любое уравнение степени определяет прямую.

Доказательство

Пусть P-плоскость

-фиксированная точка плоскости Р

() – произвольная точка плоскости P

(1)

уравнению (1) удовлетворяют все точки плоскости P с проходящей через точку (1) –уравнение плоскости.

(2)

(2) – общее уравнение плоскости

Анализ общего уравнения прямой:

1) Если D=0 плоскость проходит через (0;0;0)

2) Если А=0

3) Если В=0

4) Если C=0

5) Если А=0, D=0

6) Если B=0, D=0

7) Если C=0, D=0

8) Если А=0, B=0

9) Если B=0, C=0

10) Если А=0, C=0

11) Если А=0, B=0 C=0 ; уравнение XOY:Z=0

12) Если B=0, C=0 D=0 ; уравнение YOZ:X=0

13) Если А=0, C=0 D=0 ; уравнение XOZ:Y=0

Если A,B,C,D , то плоскость называется плоскостью общего положения.

2)Уравнение плоскости «в отрезках».

Пусть

(3) – уравнение плоскости «в отрезках»

Y=0, z=0 - точка пересечения

X=0, z=0 - точка пересечения

X=0, y=0 - точка пересечения

a,b,c - отрезки отсекаемые Р от осей координат

Плоскость, не проводящую через начало координат удобно строить по уравнению «в отрезках»

3)Уравнение плоскости проходящей через 3 точки.

Пусть - три фиксированные точки плоскости, не лежащие на одной прямой, а точка M(x;y;z) –произвольная точка плоскости.

- компланарны

(4) – уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.

Вычисление угла между плоскостями.

Угол между плоскостями – любой из двугранных углов, образованных плоскостями.

;

Условие параллельности плоскостей.

ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Условие перпендикулярности плоскостей.

3.

Прямая в пространстве: общие, параметрические и канонические уравнения, их эквивалентность; уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Вычисление угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Уравнение прямой в пространстве задается пересечением двух плоскостей.

(1) – общее уравнение прямой в пространстве.

Пусть

(2)-канонические уравнения прямой в пространстве

(3) – параметрические уравнения.

- произвольная точка прямой.

(4)

(4) – уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки.

Углом между двумя прямыми в пространстве называется любой из углов, образованный двумя прямыми проходящими через данную точку параллельно этим прямым Угол между прямыми – угол между векторами параллельными этим прямым.

Условие параллельности прямых.

(условие компланарности)

Условие перпендикулярности прямых.

4.

Плоскость и прямая в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Пересечение прямой и плоскости.

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Условие параллельности прямой и плоскости.

=0;

Пересечение прямой и плоскости.

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости подставим правые части формул (1) в общее уравнение плоскости.

1) Если , то находим значение t, подставляем в уравнение прямой (1) и находим точку пересечения M(x,y,z).

2) Если

при этом если: а)

б) (L и P не пересекаются)

5.

Эллипс. Его основное геометрическое свойство, фокусы, эксцентриситет.

Кривой 2 порядка называется линия, имеющая в ДПСК уравнение второй степени относительно x и y; (1)

где .

(1) - общее уравнение кривой второго порядка. К кривым второго порядка относятся: парабола, гипербола, окружность, эллипс.

Эллипс – кривая имеющая в некоторой ДПСК уравнение (2), где a и b - полуоси, .

(2) –каноническое уравнение эллипса.

Если , то -большая, -малая, если , то наоборот.

Точки при и - фокусы эллипса.

Свойства эллипса:

1. Для любых точек эллипса сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть величина постоянная и равная если и если .

2. Отношение расстояния между фокусами к большой оси – эксцентриситет эллипса .

<1 (если ) < 1 (если )

3. Параметрические уравнения эллипса:

Замечание: эллипс с центром в точке

6.

Гипербола. Её основное геометрическое свойство, фокусы, эксцентриситет.

Кривой 2 порядка называется линия, имеющая в ДПСК уравнение второй степени относительно x и y; (1)

где .

(1) - общее уравнение кривой второго порядка. К кривым второго порядка относятся: парабола, гипербола, окружность, эллипс.

Гипербола – кривая 2-го порядка, имеющая в некоторой ДПСК уравнение , (2)

где a-действительная и b-мнимая полуоси или , (3) где а-мнимая и b-действительная полуоси.

- Фокусы гиперболы

Свойства гиперболы:

1. Для любых точек гиперболы модуль разности их растояний до двух фиксированных точек(фокусов) есть величина постоянная и равная если -действительная и если -действительная полуось.

2. (а-действ.) (b-действ.)

3. обладают свойством, что точки гиперболы при подходят сколь угодно близко к этим прямым. Эти прямые называтются асимтотами гиперболы.

Замечание:

1) Уравнение также определяет гиперболу (равнобочную).

2) Ур-е гипербола со смещенным в точку C(x₀,y₀) центром. (Где a-действительная и b-мнимая полуоси)

гипербола со смещенным в точку C(x₀,y₀) центром.(где а-мнимая и b-действительная полуоси.)

7.

Парабола. Е основное геометрическое свойство, фокус, директриса.

Кривой 2 порядка называется линия, имеющая в ДПСК уравнение второй степени относительно x и y; (1)

где .

(1) - общее уравнение кривой второго порядка. К кривым второго порядка относятся: парабола, гипербола, окружность, эллипс.

Парабола – кривая 2-ого порядка, имеющая в некоторой ДПСК уравнение .(канонические уравнения) -параметр параболы. (ветви влево); -расстояние между и .

Основное свойство параболы:

Все точки параболы равноудалены от фиксированной точки () и от фиксированной прямой ()

Замечание:

Уравнение параболы с вершиной в точке

8.

Параллельные перенос системы координат. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

z

z’

M

В ДПСК .

В системе .

В системе

O’

y’

(1)

x

O  

y

x’

(2)

Из (1) и (2) Формулы перехода от системы , т.е. формулы параллельного переноса системы координат.

Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду:

Случай

Дано общее уравнение кривой 2-го порядка:

В этом случае уравнение приводится к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов по переменным . При этом используется формула полного квадрата s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr><m:t>)</m:t></m:r></m:e><m:sup><m:r><m:rPr><m:sty m:val="bi"/></m:rPr><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr><m:t>2</m:t></m:r></m:sup></m:sSup></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> После выделения полных квадратов уравнение (1) принимает вид: (2) , можно сказать что если:

1. Коэффициенты A и B одного знака то:

a) При такого же знака, то уравнение (2) задает эллипс(при А=В – окружность)

b) При уравнение (2) задает одну точку с координатами – вырожденный эллипс

c) уравнению (2) не удовлетворяет ни одна точка – мнимый эллипс.

2. то:

a) При уравнение (2) задает гиперболу.

b) При предположим что

– пара прямых пересекающихся в точке

3. уравнение (2) задает параболу (или пару параллельных прямых)

Случай

Алгоритм приведения (1) к каноническиму виду.

1) Составляем

2) Одим собстевенные числа и соответствующие или собственные векторы ,

3) Нормируем векторы т.е. находим их орт-векторы , Пусть ,

4) , то и образуют базис на плоскости. Пусть S – матрица перехода от базиса к , . тогда (2)

5) Подставляем (2) в (1). После преобразования уравнение (1) примет вид:

, где .

y

Полученное уравнение задает кривую II порядка, для построения которой необходимо ввести новую систему координат X’OY’ связанную с исходной XOY: OX’-направлена вдоль вектора , OY’ – направлена вдоль вектора , O – общее начало.

x’

y’

x

O

6) Дальнейшее приведение этого уравнеиня к каноническому виду осуществляется как в случае 1.

9.

Полярная система координат. Ее связь с ДПСК.

r

ПСК – система координат на плоскости определяется: 1)точкой O – полюс,2)осью 3)единицей масштаба.

Произвольная точка плоскости М имеет в ПСК 2 координаты.

- полярный угол и r – полярный радиус,

y

Связь ПСК и ДПСК.

Совместить в начале и направить полярную ось по .

Переход от ПСК в ДПСК.

r

x

x

y

Переход от ПСК в ДПСК.

Дата добавления: 2015-04-24