Геометрический смысл производной - Тангенс угла наклона касательной прямой

Если функция имеет конечную производную в точке x ₀, то в окрестности U (x ₀) её можно приблизить линейной функцией

f_l (x) = f (x ₀) + f '(x ₀)(x − x ₀).

Функция f_l называется касательной к f в точке x ₀. Число f '(x ₀) является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Физический смысл производной – Скорость изменения функции.

Пусть s = s (t) — закон прямолинейного движения. Тогда v (t ₀) = s '(t ₀) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t ₀. Вторая производная a (t ₀) = s ''(t ₀) выражает мгновенное ускорение в момент времени t ₀.

Вообще производная функции y = f (x) в точке x ₀ выражает скорость изменения функции в точке x ₀, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f (x).

Вопрос 78. Экстремум функции: максимум и минимум. Достаточный и необходимый признаки экстремума.

Экстремум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Необходимый признак существования экстремума: если х = а является точкой экстремума функции y = f(x) и производная в этой точке существует, то она равна нулю: f'(a) = 0.

Достаточный признак существования экстремума: если производная f'(x) при переходе х через а меняет знак, то а является точкой экстремума.

Если при переходе через критическую точку x₀ производная f'(x) меняет знак, то функция f(x) имеет в точке x₀ экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум ― когда с плюса на минус.

Если же при переходе через критическую точку x₀ производная f'(x) не имеет знака, то функция f(x) в точке x₀ не имеет экстремума.

Дата добавления: 2015-04-24