Распределение случайных величин. Нормальный закон распределения

Способы нахождения значений случайной величины зависят от вида функции ее распределения. В то время как законы распределения биномиальный, и Пуассона применяются при работе с дискретными данными, нормальный закон применяется при работе с непрерывно изменяющимися переменными. Нормальный закон распределения рассматривает то, каким образом группируются результаты измерений относительно среднего значения. Это – наиболее часто встречающийся на практике закон распределения.

Нормальному распределению (распределению Гаусса), самому типичному распределению, подчиняются случайные величины, на которые оказывают влияние многочисленные примерно равные по силе воздействия факторы.

Наиболее вероятными являются значения вблизи средней величины. Вероятность больших отклонений мала. Этому закону подчиняются размеры деталей, обрабатываемых в одинаковых условиях, результаты многократных измерений при отсутствии систематических погрешностей и многие другие величины.

Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием µ и средним квадратичным отклонением σ. В случае нормального распределения среднее квадратичное отклонение можно представить наглядно (рис. 1).

Рис. 1а. Нормальный закон Гаусса (в честь математика Гаусса)

Поскольку разброс носит случайный характер, то чем больше само отклонение, тем менее вероятно его значение.

Вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на большую величину, чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю. Правило справедливо только для случайных величин, распределенных по нормальному закону.

Правило трёх сигм () — практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале (µ - 3 σ; µ + 3 σ). Более строго — приблизительно с 0,9973 вероятностью значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале (при условии, что величина µ истинная, а не полученная в результате обработки выборки).

68,26%

95,44%

99,73%

-3Ϭ -2Ϭ -1Ϭ µ +1Ϭ +2Ϭ +3Ϭ

Рис.1б. Нормальное распределение

Нормальное распределение истолковываются следующим образом. Если 68,26%, значений лежат между границами m - s и m + s, то 31,74% всех наблюдений следует ожидать за этими границами, а именно: 15,87% - за границей m + s и 15,87% за границей m - s в силу симметричности нормального распределения.

Границы m - 2s и m + 2s охватывают 95,44% всех значений, а вне этих границ находятся по 2,28% значений (за границей m + 2s и m - 2s), т.е. всего 4,56%.

Между 3s границами (m - 3s; m + 3s) находится 99,73% всех наблюдений, т.е. практически все значения. Только 0,27% значений находятся за границами, а именно: 0,135% за границей m + 3s и 0,135% за m - 3s.

Дисперсия представляет собой среднее значение квадратов отклонений каждого значения случайной величины от среднего арифметического. Вообще говоря, дисперсия определяется для всей генеральной совокупности и является понятием теоретическим. На практике определяется выборочная дисперсия, которая вычисляется по следующей формуле:

S_x² = 1/(n-1)å(X_i -`X)²

i=1

По мере увеличения числа наблюдений выборочная дисперсия приближается к своему теоретическому значению - дисперсии генеральной совокупности s_x².

Среднее квадратичное отклонение (СКО) и выборочное среднее квадратичное отклонение представляют собой корень квадратный из соответствующих дисперсий:

.

Среднеквадратическое отклонение измеряется в единицах измерения самой случайной величины. Эта оценка характеризует рассеяние единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же величины около их среднего значения.

Дата добавления: 2015-05-07