Теоретические основы электротехники 2 страница

.

Соответствие между мгновенными значениями синусоидальных токов, напряжений, ЭДС и их комплексными амплитудами, позволяет записать законы Кирхгофа в комплексной форме:

; .

1.2.3. Синусоидальный ток в простейших цепях

Рассмотрим в качестве примера цепь с последовательным соединением r, L, С - элементов (рис. 1.13)

Рис. 1.13

Пусть ток . Найдем напряжение

на зажимах цепи. По второму закону Кирхгофа

.

Напряжение на сопротивлении

,

т. е. амплитуда напряжения на сопротивлении и напряжение совпадают по фазе с током (рис. 1.14).

Рис. 1.14

Напряжение на индуктивности

.

Перепишем выражение в виде

,

где - амплитуда напряжения на индуктивности,

- индуктивное сопротивление, Oм,

- начальная фаза.

Из временных и векторных диаграмм следует (рис. 1.15), что напряжение на индуктивности опережает ток на p/2.

Рис. 1.15.

Напряжение на емкости

,

или

,

где - амплитуда напряжения на емкости,

- емкостное сопротивление (Ом),

- начальная фаза.

На емкости напряжение отстает от тока на p/2 - (рис. 1.16)

Рис. 1.16

Зная фазовые соотношения между током и напряжением на каждом из элементов, можно построить векторную диаграмму для исходной схемы. На рис. 1.17 приведены векторные диаграммы для трех возможных вариантов соотношений между величинами напряжений действующих в схеме.

а) б) в)

Рис. 1.17

На рис. 1.17а и угол сдвига фаз между током и напряжением , т. е. цепь носит индуктивный характер; на рис. 1.17б и угол , т. е. цепь носит емкостный характер. При в схеме имеет место резонанс: ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе, .

По векторной диаграмме находим амплитуду искомого напряжения:

где - реактивное сопротивление,

- полное сопротивление.

Угол сдвига фаз между током и напряжением

.

Начальная фаза искомого напряжения

.

Сделаем некоторые важнейшие выводы. Расчет цепи синусоидального тока ничем не отличается от расчета цепи постоянного тока только при отсутствии реактивных элементов, когда все токи и напряжения в схеме совпадают по фазе. При наличии реактивных элементов ток и напряжение на входе цепи имеют фазовый сдвиг. Если угол сдвига фаз между напряжением и током положителен, цепь имеет индуктивный характер; если , цепь имеет емкостный характер. Напряжения (токи) в цепи синусоидального тока складываются геометрически. Вследствие этого напряжения на элементах схемы могут превышать напряжение на входе; при резонансе напряжения и могут превышать входное напряжение в десятки раз. Для качественного анализа цепей синусоидального тока используют векторные диаграммы, позволяющие наглядно представить соотношения между токами и напряжениями в схеме. Векторные диаграммы применяют и непосредственно для расчета простейших цепей.

Наличие реактивных элементов в цепи синусоидального тока учитывают введением реактивных сопротивлений и , являющихся функциями частоты. Сопротивление r в цепях переменного тока называют активным сопротивлением. Отношение действующих (амплитудных) значений напряжения и тока на входе цепи

называют полным сопротивлением. В общем случае сопротивления в цепи синусоидального тока складываются геометрически. Связь между всеми сопротивлениями легко установить, пользуясь треугольником сопротивлений (рис.1.18):

Рис. 1.18

1.2.4. Мощность в цепи синусоидального тока

Пусть на входе цепи действуют синусоидальное напряжение и ток (рис. 1.19а). Примем для определенности, что угол сдвига фаз между током и напряжением j >0, т. е. цепь имеет индуктивный характер. Мгновенная мощность, т. е. скорость поступления энергии в цепь:

Временная диаграмма мгновенной мощности приведена на рис. 1.19б. При p>0 энергия поступает в цепь от источника, при p<0 - энергия, накопленная в реактивных элементах, возвращается в источник. Для количественного описания зтих процессов вводят соответствующие интегральные характеристики.

Среднее значение мгновенной мощности за период называют активной мощностью:

. (1.5)

Физически активная мощность соответствует той части электрической энергии, которая необратимо преобразуется в другие виды энергии (тепловую, механическую и т.д.). Максимальное значение (амплитуду) переменной составляющей мгновенной мощности называют полной мощностью. Полная мощность характеризует предельные возможности источника энергии. следует, что Активная мощность равна полной мощности (рис. 1.19б) при , т. е. когда цепь не содержит реактивных элементов.

Рис. 1.19

Преобразуем выражение (1.5) для мгновенной мощности:

Первое слагаемое p_r отражает колебания энергии в активном сопротивлении цепи и представляет собой гармонические колебания с амплитудой:

.

Второе слагаемое px связано с изменениями энергии в реактивном сопротивлении и представляет собой гармонические колебания, амплитуду которых называют реактивной мощностью. Величина реактивной мощности соответствует той части энергии, которой реактивные элементы обмениваются с источником. Учитывая, что из треугольника cопротивлений

, , a получим ,

, .

Полная, aктивная и реактивная мощности связаны зависимостью:

Отношение активной мощности и полной называют коэффициентом мощности

.

Коэффициент мощности (или cosj) является одной из важнейших энергетических характеристик электротехнических устройств и показывает, какая часть мощности источника полностью используется потребителем. Чем меньше cosj при заданной активной мощности, тем больше ток и потери на участке цепи, связывающем источник и нагрузку.

Простейшим способом улучшения коэффициента мощности потребителей, имеющих индуктивный характер, является подключение параллельно к ним батарей конденсаторов, емкость которых выбирают из условия почти полной компенсации реактивной мощности.

1.3. Трехфазные цепи

1.3.1. Основные определения

Совокупность электрических цепей, в которых действуют ЭДС одной и той же частоты, сдвинутые относительно друг друга по фазе, называют многофазной системой. Часть многофазной системы электрической цепи, по всем элементам которой протекает один и тот же ток, называют фазой. В электроэнергетике наибольшее распространение получили трехфазные цепи. Их основные достоинства: экономичность передачи электроэнергии и воз-можность использования двух различных по величине напряжений.

В цепях синусоидального тока трехфазной симметричной системой ЭДС называют совокупность ЭДС, имеющих одинаковые амплитуды и сдвинутые относительно друг друга по фазе на (рис. 1.20). Такую систему ЭДС формируют все трехфазные генераторы.

а) б)

Рис. 1.20

Выражения для мгновенных значений ЭДС имеют вид

Соответствующие им комплексные действующие значения ЭДС

Порядок, в котором ЭДС проходят через одинаковые значения, например через положительные максимумы, называют последовательностью фаз или порядком чередования фаз. Последовательность чередования фаз (рис. 1.20) называют прямой. Для получения обратной последовательности чередования фаз достаточно поменять местами любые две фазы. Основной особенностью симметричной трехфазной системы ЭДС является равенство нулю суммы их мгновенных значений в любой момент времени:

.

Аналогично

1.3.2. Соединения трехфазных цепей звездой и треугольником

Существуют два основных способа соединения обмоток генераторов, трансформаторов и приемников в трехфазных цепях: соединение звездой и треугольником. При cоединении звездой (рис. 1.21) концы фаз генератора соединяют в общий узел, который называют нейтральной (нулевой) точкой генератора. Аналогично узел, в котором сходятся концы фаз нагрузки называют нейтральной (нулевой) точкой приемника.

Напряжения между началом фазы и нейтральной точкой называют фазным напряжением. На рис. 1.21 - фазные напряжения генератора, - фазные напряжения нагрузки. Провода, соединяющие начала фаз генератора с началами фаз нагрузки называют линейными. Напряжения между линейными проводами называют линейными напряжениями. На рис. 1.21 - линейные напряжения генератора, - линейные напряжения нагрузки. Для симметричного генератора , .

Рис. 1.21

Соотношение между фазными и линейными напряжениями легко установить с помощью векторной диаграммы (рис.1.22).

Рис. 1.22

При соединении в звезду линейные токи являются одновременно и фазными токами (токами в фазах генератора и нагрузки):

Напряжение между нейтральными токами генератора и нагрузки называют напряжением смещения нейтрали. При симметричной нагрузке и фазные напряжения нагрузки равны фазным напряжениям генератора, т. е. . Если нагрузка несимметрична, то и фазные напряжения нагрузки отличаются по величине. Для обеспечения симметрии фазных напряжений нагрузки при несимметричном приемнике нейтральные точки генератора и приемника соединяют нейтральным (нулевым) проводом.

При соединении треугольником (рис. 1.23) напряжение на каждой фазе генератора является одновременно и линейным напряжением:

.

Аналогично напряжение на каждой фазе нагрузки является одновременно и

линейным напряжением на нагрузке.

Рис. 1.23.

Линейные и фазные токи связаны между собой первым законом Кирхгофа:

.

Из векторной диаграммы (рис. 1.24) следует; если нагрузка (включая сопротивления проводов линии) симметрична, т. е. и , то .

Рис. 1.24

На практике схемы соединения фаз генератора и нагрузки могут быть различны. Например, при соединении фаз генератора звездой нагрузка может быть соединена как звездой, так и треугольником.

1.3.3. Мощность в трехфазных цепях

Активная мощность симметричного трехфазного приемника

.

Учитывая, что при соединении нагрузки звездой

,

а при соединении треугольником

,

получим независимо от вида соединения

.

Поскольку в качестве паспортных данных для трехфазных цепей, как правило, принимают линейные напряжения, соответствующий индекс у напряжения (тока) может быть опущен:

.

Аналогично реактивная и полная мощности:

,

.

Следует помнить, что в этих выражениях j - угол сдвига фаз между током и напряжением.

1.3.4. Симметричные составляющие трехфазной системы токов,

напряжений и ЭДС

Для анализа трехфазных цепей широко применяют метод симметричных составляющих, согласно которому любая несимметричная трехфазная система векторов (токов, напряжений, ЭДС) может быть представлена в виде суммы симметричных систем векторов прямой, обратной и нулевой последовательностей. Симметричные составляющие прямой и обратной последовательностей имеют соответственно прямой и обратный порядок чередования фаз, а составляющие нулевой последовательности совпадают по фазе.

В качестве примера (рис. 1.25) приведена несимметричная система напряжений и ее симметричные составляющие прямой последовательности обратной последовательности и нулевой последовательности .

Рис 1.25

Векторы напряжений (рис. 1.25) связаны соотношениями

(1.6)

Трехфазные системы симметричных составляющих можно построить, зная лишь один вектор из каждой "тройки" векторов. Пусть, например, известны векторы . Тогда

; ;

; ;

.

Комплексное число называют фазным множителем. Умножению вектора на соответствует поворот вектора на угол против часовой стрелки. Умножению вектора на оператор соответствует поворот вектора на угол по часовой стрелке.

Используя фазный множитель, соотношения (1.6) можно записать в виде

.

Решая эти уравнения относительно и учитывая, что , получим соотношения, позволяющие определить симметричные составляющие через несимметричную трехфазную систему напряжений:

Дата добавления: 2015-05-08