Решение. Исследовать функцию и построить ее график

Пример 2.

Исследовать функцию и построить ее график.

Общая схема исследования функций:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать поведение функции на концах области определения. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках. Найти вертикальные асимптоты.

3. Выяснить, является функция четной, нечетной, периодической.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

5. Найти наклонные асимптоты графика функции.

6. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

7. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

8. Построить схематический график функции, используя все полученные результаты.

1. Функция не определена, если

Область определения:

2. Т.к. - точка разрыва функции исследуем поведение функции в этой точке слева и справа

Т.к. пределы равны значит точка разрыва второго рода.

Следовательно, прямая - вертикальная асимптота.

3. Проверим функцию на четность, нечетность. Напомним, что функция называется четной (нечетной) если выполнены два условия:

1. Область определения симметрична относительно начала координат

2.

Если четная, то график симметричен относительно оси ординат, а для нечетной – относительно начала координат.

Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.

Функция не является периодической

4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат

Найдем промежутки знакопостоянства функции

5. Найдем наклонные асимптоты где

Для k и b вычисляются аналогично

6. Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности.

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной : если в некотором интервале , то в этом интервале функция возрастает, а если , то функция убывает в этом интервале.

Функция может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения и в которых ее производная равна нулю или не существует. Если меняет знак с “+” на “-” при переходе через исследуемую точку, то эта точка максимума, если меняет знак с “-” на “+” при переходе через исследуемую точку, то эта точка является точкой минимума. Если не меняет знак при переходе через точку , в этой точке экстремума нет.

Найдем все точки из области определения функции , в которых производная обращается в ноль или не существует.

Составим таблицу

		-2
	+		+	не существует	-		+
				не существует
	возрастает		возрастает		убывает	min	возрастает

Функция возрастает на интервалах , , и убывает на интервале . Точка есть точка минимума

7. Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции

Напомним, что график функции называется выпуклым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит ниже любой своей касательной. График функции называется вогнутым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит выше любой своей касательной.

Точки, в которых функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.

Перегиб возможен в точках, в которых равна нулю или не существует. Если на интервале , то график функции является выпуклым на этом интервале, если же , то на интервале график вогнутый .

Найдем точки перегиба

Составим таблицу

		-2
	-		+	не существует	+
				не существует

Точка - точка перегиба.

Дополнительные точки:

8. Построим график функции, используя результаты исследования.

Замечание:

При построении графика масштабы по оси OX и OY могут не совпадать.

Вариант 1

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 2

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 3

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 4

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 5

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 6

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 7

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 8

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 9

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 10

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 11

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 12

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 13

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 14

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 15

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 16

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 17

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 18

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 19

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 20

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 21

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 22

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 23

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 24

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 25

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 26

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 27

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 28

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 29

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 30

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Дата добавления: 2015-05-09