Законы поглощения

AÚ(А&В) = А

А&(AÚВ) = А

А&( ÚВ) = А&В

AÚ( &B) = AÚВ

Одну и ту же зависимость между логическими переменными можно выразить различными формулами. Поэтому важно иметь возможность приводить формулы с помощью эквивалентных преобразований к некоторому стандартному виду. Существует несколько стандартных форм, к которым приводятся логические выражения с помощью эквивалентных преобразований.

Первая из них — дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ), имеет вид AlÚA2Ú...ÚAn, где каждое из составляющих высказываний есть конъюнкция простых высказываний и их отрицаний, например:

В = ( & А2 & A3)Ú(А4 & А5)

Вторая — конъюнктивная нормальная форма (КНФ), имеет вид А1ÙА2Ù...ÙAn, где каждое из составляющих есть дизъюнкция простых высказываний и их отрицаний, например:

В = ( ÚА2Ú ) & (А4ÚА5) & А6.

Задать булевскую функцию можно, определяя ее значения для всех наборов значений аргументов. Каждый аргумент может иметь два значения: 0 и 1, следовательно, n аргументов могут принимать 2ⁿ различных наборов. Пусть, например, булевская функция имеет три аргумента: X₁, Х₂, Х₃. Общее число наборов 2³ = 8; зададим таблицу истинности функции, указав для каждого набора значение функции.

№	X1	X2	X3	F

Для составления алгебраической формы по результатам таблицы сделаем следующее. В комбинациях, где функция принимает значение 1, единицу заменим именем функции, а нуль – именем с отрицанием (т.е. комбинации 0 0 1 поставим в соответствие выражение & &Х₃), все элементы соединим знаками дизъюнкции, для рассматриваемого примера получим F(X₁, X₂, Х₃) = ( & &Х₃)Ú( &Х₂&Х₃)Ú(Х₁& &Х₃)Ú (Х₁&Х₂&Х₃).

Как нетрудно заметить, построенная функция удовлетворяет заданной таблице истинности. Функция представляет дизъюнктивную нормальную форму. Кроме того, заметим, что в каждую группу дизъюнкций входят все аргументы функции. Такая ДНФ называется совершенной, а каждая группа дизъюнкций называется конституэнтой единицы.

Аналогично, для комбинаций, где функция принимает значение нуля, можно построить алгебраическую форму F(X₁,X₂,X₃) = (X₁ÚX₂ÚX₃)& (X₁Ú ÚX₃)&( ÚX₂ÚX₃)&( Ú ÚX₃), которая также удовлетворяет заданной таблице истинности и представляет собой конъюнктивную нормальную форму, в данном случае совершенную. Каждая конъюнкция называется конституэнтой нуля.

Таким образом, любая функция может быть разложена на конституэнты (составляющие). Эти соотношения используются для синтеза логических функций и вычислительных схем.

Далее будет показано, как, основываясь на булевой алгебре, создаются цифровые устройства.

Дата добавления: 2015-05-10