КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Установленное в первом параграфе приближенное равенство
или (14) позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции. Запишем приближенное равенство более подробно. Так как а то или (15) Пример 3. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно ln 1,01. Решение. Число ln 1,01 является одним из значений функции y = ln x. Формула (15) в данном случае примет вид Положим тогда Следовательно, что является очень хорошим приближением: табличное значение ln 1,01 = 0,0100. Пример 4. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно Решение. Число Так как производная этой функции то формула (15) примет вид Полагая и получаем (табличное значение ). Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности. Абсолютная погрешность приближенного числа равна абсолютной величине разности между точным числом и его приближенным значением: (16) Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа: (17) Если точное число неизвестно, то (18) Иногда, прежде чем применить формулу (15), требуется предварительно преобразовать исходную величину. Как правило, это делается в двух целях. Во-первых, надо добиться, чтобы величина была достаточно малой по сравнению с , так как чем меньше , тем, вообще говоря, точнее результат приближенного вычисления. Во-вторых, желательно, чтобы величина вычислялась просто. Пример 5. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно . Оценить точность полученного результата.
Решение. Рассмотрим функцию Её производная равна а формула (15) примет вид В данном случае было бы нерационально вычислять приближенно следующим образом: так как значение не является малым по сравнению со значением производной в точке Здесь удобно предварительно вынести из под корня некоторое число, например 4/3. Тогда Теперь, полагая получим Умножая на 4/3, находим Принимая табличное значение корня за точное число, оценим по формулам (16) и (17) абсолютную и относительную погрешности приближенного значения:
Дата добавления: 2015-05-10; Просмотров: 805; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |