Развертки поверхностей

http://library.uipa.kharkov.ua/library/BD/VidannaKaf/5/5/NGP/5.htm

Развернуть поверхность - это значит, совместить ее с плоскостью без складок и разрывов. При этом длины линий, величины углов и площадей, взятых на поверхности, должны быть равны таким же элементам, взятым на плоскости. Поверхности, допускающие такие преобразования, называют развертывающимися. К ним относятся все гранные поверхности, а также линейчатые поверхности с одной направляющей - торсы, конические и цилиндрические поверхности. Остальные поверхности относятся к неразвертывающимся.

Основным способом построения разверток гранных поверхностей является способ триангуляции или, как еще его называют, способ треугольников. Его суть сводится к следующему. Все грани заданной поверхности с помощью диагоналей разбивают на треугольники. Определяют истинные величины сторон каждого из них, а затем линейными засечками строят на плоскости систему истинных величин сомкнутых треугольников, не нарушая их взаимного положения.

Пример 78. Построить развертку трехгранной усеченной пирамиды (рис.302).

Верхнее и нижнее основания пирамиды параллельны горизонтальной плоскости проекций P1, поэтому истинные величины сторон треугольников, лежащих в этих основаниях, равны их горизонтальным проекциям.

Боковые грани пирамиды представляют собой четырехугольники ADFC, CFEB, BEDA. С помощью диагоналей AF, CE, BD разбиваем каждый из них на два треугольника. В итоге получаем шесть треугольников.

Определяем истинные величины сторон каждого из них. Боковые ребра пирамиды и диагонали граней являются отрезками общего положения. Их истинные величины целесообразно определять способом прямоугольного треугольника. Для этого достаточно построить прямоугольные треугольники, одним катетом которых будет, например, горизонтальная проекция отрезка, а другим - разность высот его концов. Поскольку таких треугольников должно быть шесть, то это приведет к накоплению значительного количества неупорядоченных линий на горизонтальной проекции пирамиды, что будет усложнять дальнейшую работу. Поэтому естественным является стремление вынести построение этих треугольников за границы горизонтальной проекции пирамиды и упорядочить. Это возможно, так как одним из их катетов является одна и та же величина - разность высот концов ребер и диагоналей, равная высоте пирамиды. Поэтому примем этот катет общим для всех треугольников. Отложим его параллельно высоте пирамиды рядом с ее фронтальной проекцией, а перпендикулярно к нему - горизонтальные проекции ребер и диагоналей (для большего удобства работы горизонтальные проекции ребер будем откладывать с одной стороны, а диагоналей – с другой). Полученный чертеж называют диаграммой истинных величин.

Проведем произвольную прямую (рис.303) и отложим на ней истинную величину какого-либо ребра, например BE. Чтобы получить треугольник BED, необходимо построить точку D. Для этого из точки E проведем дугу окружности радиусом, равным истинной величине стороны ED, а из точки B – радиусом, равным истинной величине диагонали BD. На пересечении этих дуг и будет находиться точка D. Соединив ее с точками B и E, получим истинную величину треугольника BED. Сделав засечки из точек B и D истинными величинами соответственно сторон BA нижнего основания и ребра DA, получим точку A и, следовательно, треугольник BDA. Продолжив построение треугольников, получим полную развертку пирамиды.

Способ триангуляции носит общий характер и может использоваться для построения развертки любой гранной поверхности. Однако развертку призматических поверхностей целесообразней строить способом нормального сечения. Его суть состоит в построении истинной величины граней призмы без их разбиения на треугольники.

Пример 79. Построить развертку трехгранной призмы (рис.304).

Пересечем призму произвольной горизонтально проецирующей плоскостью S перпендикулярно ребрам и способом замены плоскостей проекций определим истинную величину сечения. Выберем произвольную горизонтальную линию (рис.305) и последовательно от произвольно выбранной точки 1 отложим отрезки 12, 23, 31, равные по величине соответственно сторонам треугольника сечения призмы 1424, 2434, 3414. Через точки 1, 2, 3, 1 проведем прямые, перпендикулярные этой линии, и отложим на них от точек 1, 2, 3, 1 отрезки, равные отрезкам боковых ребер призмы (поскольку ребра призмы являются отрезками уровня, то их горизонтальные проекции равны истинной длине ребер), и полученные точки соединим отрезками прямых. К полученной развертке боковой поверхности призмы способом линейных засечек достраиваем истинные величины треугольников верхнего и нижнего оснований.

Построение разверток кривых развертывающихся поверхностей, как правило, связано со значительными техническими трудностями. Поэтому обычно ограничиваются построением их приближенных разверток. Для этого в заданную кривую поверхность вписывают гранную поверхность и строят ее развертку. Эту развертку и принимают за развертку кривой поверхности. При этом точность приближенной развертки кривой поверхности определяется тем, насколько точно вписанный многогранник аппроксимирует кривую поверхность.

Пример 80. Построить развертку конической поверхности (рис.306).

Предположим, что для достижения заданной точности построения развертки в коническую поверхность достаточно вписать двенадцатигранную пирамиду. Заданная поверхность имеет плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций P2, поэтому построим развертку только ее передней половины.

Разбиваем верхнее и нижнее основания конической поверхности на двенадцать соответственно равных частей (необходимость разбиения оснований на равные части диктуется стремлением добиться постоянной степени искажения при переходе от кривой к гранной поверхности). Полученные точки каждого из оснований соединяем хордами (на рис.306 хорды не показаны). Проводим ребра пирамиды. Грани пирамиды являются четырехугольниками, поэтому разбиваем их диагоналями на треугольники. Таким образом, половина поверхности описывается двенадцатью треугольниками.

Строим диаграмму истинных величин ребер и диагоналей вписанной пирамиды (см. пример 78).

Строим развертку половины боковой поверхности пирамиды (рис.308). Отложим истинную величину ребра AD пирамиды. Из точки D радиусом, равным длине хорды верхнего основания, сделаем засечку, а из точки A сделаем засечку радиусом, равным длине диагонали AE. Получим точку E. Соединив ее с точками A и D, получим треугольник ADE. Из точки A сделаем засечку хордой нижнего основания, а из точки E - радиусом, равным длине ребра BE. Получим точку B. Соединив ее с точками A и E, получим треугольник ABE. Продолжая построение треугольников, получим развертку передней половины пирамиды.

В практической деятельности часто возникает необходимость в построении развертки неразвертывающейся поверхности. Поскольку неразвертывающаяся поверхность теоретически не имеет развертки, то строят ее так называемую условную развертку. Для этого заданную поверхность, исходя из необходимой точности развертки, разбивают на участки, каждый из которых аппроксимируют развертывающейся поверхностью, а затем строят развертки развертывающихся поверхностей, совокупность которых и принимают за условную развертку заданной поверхности. Как правило, в качестве аппроксимирующих поверхностей используют отсеки плоскостей, цилиндрических и конических поверхностей.

Пример 81. Построить условную развертку поверхности купола (рис.309).

Аппроксимировать заданную поверхность можно отсеками плоскостей. Для этого заданную поверхность необходимо рассечь достаточным количеством меридиональных и горизонтальных плоскостей уровня. Условимся, что для достижения заданной точности построения достаточно разбить заданную поверхность меридиональными плоскостями на шестнадцать одинаковых “лепестков” и горизонтальными плоскостями уровня на четыре “пояса”. При этом в верхнем поясе образуются пространственные равнобедренные треугольники, а в остальных – пространственные равнобочные трапеции.

Рассмотрим, например, трапецию KLMN. Ее стороны KL и MN являются частями соответствующих параллелей, а стороны KM и LN – частями соответствующих меридианов. Если ее криволинейные стороны заменить отрезками прямых, то мы получим плоскую равнобочную трапецию. Основания этой трапеции являются хордами соответствующих параллелей, а боковые стороны – хордами соответствующих меридианов (рис.310). Хорды параллелей проецируются в истинную величину на горизонтальную плоскость проекций (K1L1 и M1N1), а истинная величина боковых сторон равна истинной величине хорд фронтального меридиана (K2M2 = L2N2 = A2B2). Аналогично определяются стороны остальных трапеций и треугольников, входящих в данный “лепесток” и строится его развертка. Совокупность разверток всех лепестков и дает условную развертку поверхности.

В ряде случаев поверхности вращения целесообразно аппроксимировать отсеками конусов и цилиндров.

Пример 82. Построить условную развертку сферы (рис. 311).

Строим фронтально проецирующий цилиндр, огибающий сферу по главному меридиану. Двумя горизонтально проецирующими плоскостями, проходящими через ось сферы, вырезаем из нее и цилиндра “лепесток”, симметричный относительно главного меридиана сферы. Поверхность сферического "лепестка" заменяем поверхностью цилиндрического "лепестка" и строим развертку последнего. Цилиндрический “лепесток” аппроксимируем гранной поверхностью. Для этого линию соприкасания сферы с цилиндром в пределах "лепестка" поделим на некоторое количество равных частей и соединим их хордами. Через полученные точки А, B,…проведем горизонтальные секущие плоскости уровня. Они будут пересекать "лепесток" по отрезкам образующих цилиндра A11A21, B11B21,…Таким образом, элементами цилиндрического "лепестка" будут пространственные равнобочные трапеции. Рассмотрим одну из них, например, трапецию A1A2B1B2. Ее основаниями являются отрезки образующих обвертывающего цилиндра, которые проецируются в истинную величину на горизонтальную плоскость проекций (A11A21 и B11B21). Высота трапеции равна величине хорды главного меридиана сферы. Аналогично определяются сторон других входящих в данный “лепесток» трапеций. Условная развертка поверхности сферы будет представлять собой совокупность разверток всех "лепестков".

Пример 83. Построить условную развертку поверхности вращения (рис.312).

Семейством горизонтальных плоскостей уровня рассечем заданную поверхность на семь “поясов” (будем считать, что выбранного количества “поясов” достаточно для обеспечения заданной точности построения развертки). Первый и четвертый из них аппроксимируем отсеками цилиндров, а все остальные – конусами (при этом второй, третий, пятый и шестой “пояса” – усеченными).

Известно, что точной разверткой прямого кругового цилиндра будет прямоугольник с высотой, равной высоте цилиндра, и шириной, равной 2pR, где R - радиус окружности основания цилиндра. В данном случае высотами цилиндров будут высоты упомянутых "поясов", а радиусами окружностей оснований - радиусы соответствующих параллелей.

Заметим, что для построения развертки усеченного конуса достаточно построить развертки конусов с основаниями, равными нижнему и верхнему основаниям “пояса”. При этом напомним, что точной разверткой прямого кругового конуса является сектор окружности радиусом, равным длине его образующей l и углом при вершине a = 360°R/l, где R - радиус окружности основания конуса.

Дата добавления: 2015-05-10