Однородные уравнения

Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.

При решении биквадратных и возвратных уравнений мы вводили новые неизвестные (у = х² для биквадратных уравнений и у = х + 1 / х для возвратных уравнений). Введение новых неизвестных применяется также при решении уравнений иного вида и систем уравнений.

Пример 7.28. Решим уравнение 12 / (х² + 2х) - 3 / (х² + 2х - 2) = 1.

Решение. Если попробовать привести дробь в левой части уравнения к одному знаменателю, то получим уравнение четвёртой степени, которое мы умеем решать. Чтобы решить заданное уравнение, заметим, что в обе дроби входит одно и то же выражение х² + 2х. Поэтому введём новое неизвестное у, положив, что у = х² + 2х. Тогда уравнение примет вид

12 / у - 3 / (у - 2) = 1 или (у^{2 -} 11у + 24) / (у(у - 2)) = 0,

откуда y₁ = 3; y₂ = 8. Осталось решить уравнения х² + 2х = 3 (его корни х₁ = 1, х₂ = - 3) и х² + 2х = 8 (его корни х₃ = 2, х₄ = - 4).

Применённый метод называется методом введения новых неизвестных, и его полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени неизвестного выше первой).

Пример 7.29. Решим систему уравнений

Решение. Обозначим 1 / х через U, а 1 / у через V. Тогда система примет вид

т.е. получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными U и V. Из первого уравнения выражаем U через V: U = 4 - 3V / 2, и подставляя во второе: 5(4 - 3V / 2) - 2V = 1, откуда V = 2. Теперь находим U = 1 и решаем уравнения 1 / x = 1, 1 / y = 2.

Ответ: x = 1, y = 0,5.

Пример 7.30.

(x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680.

Решение. (x – 4)(x – 7)× (x – 5)(x – 6) = 1680, т.е.

(x² – 11x + 28)(x² – 11x + 30) = 1680.

Обозначим x² – 11x + 28 = t, тогда t(t + 2) = 1680, t2 + 2t – 1680 = 0, t₁ = – 42; t₂ = 40. Поэтому

x² – 11x + 28 = – 42; x² – 11x + 70 = 0; D = 121 – 280 < 0 Þ x_1,2 Î Æ.

x² – 11x + 28 = 40; x² – 11x – 12 = 0; x₁ = 12; x₂ = – 1.

Ответ: x₁ = 12; x₂ = – 1.

Пример 7.31.

2x⁴ + 3x³ – 16x² + 3x + 2 = 0.

Решение. Это возвратное уравнение. Разделим обе части уравнения на x2 ¹ 0, получим

2x² + 3x – 16 +3 / x + 2 / x² = 0, т.е.

2(x² + 1 / x²) + 3(x + 1 / x) – 16 = 0,

обозначим x + 1 / x = t, тогда x² + 2 + 1 / x² = t², т.е. x² + 1 / x² = t² – 2, получаем 2(t² – 2) + 3t – 16=0, т.е. 2t² + 3t – 20 = 0, t₁ = – 4; t₂ = 5 / 2 = 2,5. Следовательно, имеем

x + 1 / x = – 4; x² + 4x + 1 = 0; x_1,2 = –2 ± Ö 3,

x + 1 / x = 2,5; 2x² – 5x + 2 = 0; x₃ = 2; x₄ = 1 / 2.

Ответ: x_1,2 = –2 ± Ö 3; x₃ = 2; x₄ = 1 / 2.

Пример 7.32.

(x + 3)⁴ + (x + 5)⁴ = 16.

Решение. Сделаем подстановку x = t – 4. Тогда получаем (t – 1)⁴ + (t + 1)⁴ = 16, т.е.

t⁴ – 4t³ + 6t² – 4t + 1 + t⁴ + 4t³ + 6t² + 4t + 1 = 16,

т.е. 2t⁴ + 12t² – 14 = 0, или t⁴ + 6t² – 7 = 0. Положим t² = z ³ 0, тогда

z² +6z – 7 = 0, z₁ = – 7; z₂ = 1.

С учётом t² = z ³ 0 отбрасываем z₁. Итак, z = 1, т.е. t² = 1, отсюда t₁ = –1; t₂ = 1. Следовательно, x₁ = – 1 – 4 = – 5 и x₂ = 1 – 4 = – 3.

Ответ: x₁ = – 5 и x₂ = – 3.

Пример 7.33.

13x / (2x² + x +3) + 2x / (2x² – 5x + 3) = 6.

Решение. Разделим числитель и знаменатель дробей на x ¹ 0:

13 / (2x + 1 + 3 / x) + 2 / (2x – 5 +3 / x) = 6,

обозначим 2x + 3 /x = t. Получаем 13 / (t + 1) + 2 / (t – 5) = 6, т.е.

13t – 65 + 2t + 2 = 6t² – 24t – 30, т.е.

6t² – 39t + 33 = 0, т.е. 2t² – 13t + 11 = 0,

t₁ = 1; t₂ = 5,5.

Следовательно:

2x + 3 / x = 1; 2x² – x + 3 = 0; D = 1 – 24 < 0 Þ x Î Æ.

2x + 3 / x = 5,5; 4x² – 11x + 6 = 0; x₁ = 2; x₂ = 0,75.

Ответ: x₁ = 2; x₂ = 0,75.

Пример 7.34.

x⁴ – 2x³ + x – 0,75 = 0.

Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя в левой части уравнения x²:

x⁴ – 2x³ + x² – x² + x – 0,75 = 0, т.е.

(x² – x)² – (x² – x) – 0,75 = 0.

Пусть x² – x = t, тогда t² – t – 0,75 = 0, x₁ = – 0,5; x₂ = 1,5.

Возвращаясь к старой переменной, получаем:

x² – x = – 0,5; x² – x + 0,5 = 0; D = 1 – 2 < 0 Þ x Î Æ.

x² – x = 1,5; x² – x – 1,5 = 0; x_1,2 = (1 ± Ö 7) / 2.

Ответ: x_1,2 = (1 ± Ö 7) / 2.

Пример 7.35.

x² + 81x² / (9 + x)² = 40.

Решение. Воспользуемся формулой: a² + b² = (a – b)² + 2ab ((a - b)² = a² - 2ab + b^2Þ Þ a² + b² = (a - b)² + 2ab). Получаем:

(x – 9x / (9 + x))² + 2x× 9x / (9 + x) = 40, или

(x² / (9 + x))² + 18x² / (9 + x) = 40.

Пусть: (x² / (9 + x)) = t. Тогда t² + 18t – 40 = 0, t₁ = – 20; t₂ = 2. Получаем два уравнения:

(x² / (9 + x)) = 2; x² – 2x – 18 = 0; x_1,2 = 1 ± Ö 19,

(x² / (9 + x)) = – 20; x² + 20x + 180 = 0; D = 400 – 720 < 0, Þ x Î Æ.

Ответ: x_1,2 = 1 ± Ö 19.

Пример 8.36. Решим систему уравнений

Решение. заметим, что для решения системы выполняется условие у ¹ 0. В самом деле, из первого уравнения следует, что если у = 0, то и х = 0, а числа х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на у². Получится уравнение

8х² / у² - 6ху / у² + у² / у² = 0 или 8х² / у² - 6х / у + 1 = 0.

Введём вспомогательное неизвестное U = х / у. Уравнение примет вид

8U² - 6U + 1 = 0.

Это квадратное уравнение, имеющее корни U₁ = 0,5; U₂ = 0,25. Таким образом, из первого уравнения мы получаем что либо x / y = 1 / 2, либо x / y = 1 / 4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение 5х² = 5, откуда х₁ = 1, х₂ = - 1; соответственно у₁ = 2, у₂ = - 2. Во втором случае получается уравнение17х² = 5, откуда х₃ = Ö (5 / 17), x₄ = - Ö (5 / 17); соответственно y₃ = 4Ö (5 / 17), y₄ = - 4Ö (5 /17).

Первое уравнение системы нам удалось представить как уравнение относительно x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих слагаемыми в это уравнение (8x², 6xy, y²), одна и та же — она равна двум. Поэтому после деления на y² каждое слагаемое выразилось через x / y.

Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом степени k.

Уравнение вида P (x, y) = 0 называется однородным уравнением степени k относительно x и y, если P (x, y) — однородный многочлен степени k. Однородное уравнение относительно x и y делением на y^k (если y = 0 не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно неизвестного x / y. Это свойство однородного уравнения помогает решать многие задачи.

Пример 8.37. Решить систему уравнений

Решение. Ни одно из уравнений системы не является однородным. Но если умножить первое уравнение на 7 и прибавить к нему почленно второе уравнение, умноженное на 3, то получится уравнение 7y² - 10xy + 3x² = 0, являющееся следствием исходной системы. Разделим обе части уравнения на x² и решим уравнение 7U² - 10U + 3 = 0 (здесь U = y / x, причём из второго уравнения системы следует, что x ¹ 0). Находим, что y = x или y = 3x / 7. Подставляя это выражение во второе уравнение и, рассмотрев оба случая, найдём решения:

x₁ = 7, y₁ = 3; x₂ = - 7, y₂ = - 3.

Ответ: x₁ = 7, y₁ = 3; x₂ = - 7, y₂ = - 3.

Мы получили решения системы путём выведения из заданных уравнений вспомогательного следствия. Такой способ решения систем в некоторых случаях приводит к появлению “посторонних” корней — значений x и y, не удовлетворяющих исходной системе. Поэтому найденные корни надо проверить, подставив их исходную систему и убедившись, что уравнения системы обращаются в верные числовые равенства.

Пример 8.38. Решим уравнение (x - 1)⁴ + 9(x + 1)⁴ = 10(x² - 1)².

Решение. Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то получится уравнение четвёртой степени. Попробуем другой путь: введём новые неизвестные U и V:

U = (x - 1)², V = (x + 1)².

Уравнение примет вид U² + 9V² = 10UV.

Это уравнение однородное, и после деления на V² оно становится уравнением относительно неизвестного W:

W = U / V = (x - 1)² / (x + 1)².

Решим вспомогательное уравнение

W^{2 -} 10W + 9 = 0.

Его корни W₁ = 1, W₂ = 9. Осталось решить уравнения

(x - 1)² / (x + 1)² = 1 и (x - 1)² / (x + 1)² = 9.

Из первого уравнения следует, что либо (x - 1) / (x + 1) = 1, либо (x - 1) / (x + 1) = - 1.

Из второго получаем, что либо (x - 1) / (x + 1) = 3, либо (x - 1) / (x + 1) = - 3. Решая получившиеся уравнения, видим, что первое из них не имеет корней, а из трёх остальных получаем x₁ = 0, x₂ = - 2, x₃ = - 0,5.

Ответ: x₁ = 0, x₂ = - 2, x₃ = - 0,5.

Пример 8.39.

3(x² – x + 1)² – 5(x + 1)(x² – x + 1) – 2(x + 1)² = 0.

Решение. Это так называемое однородное уравнение, т.е. уравнение вида

ay^2a + bya za + cz^2a = 0,

где a, b, c, a — заданные числа, отличные от нуля; y = y(x), z = z(x) — некоторые функции от x. Разделим обе части уравнения на (x² – x + 1)² ¹ 0:

3 – 5(x + 1) / (x² – x + 1) – 2((x + 1) / (x² – x + 1))² = 0.

Пусть (x + 1) / (x² – x + 1) = t, тогда 3 – 5t – 2t² = 0, т.е. t₁ = – 3; t₂ = 0,5. Следовательно:

(x + 1) / (x² – x + 1) = 0,5 = 1 / 2; 2x + 2 = x² – x + 1; x² – 3x – 1 = 0; x_1,2 = (3 ± Ö 13) / 2,

(x + 1) / (x² – x + 1) = – 3; x + 1 = – 3x² + 3x – 3; 3x² – 2x + 4 = 0; D = 4 – 48 < 0, Þ x Î Æ.

Ответ: x_1,2 = (3 ± Ö 13) / 2.

Дата добавления: 2015-05-10