Пример 3. Уравнение Эйлера имеет вид

Уравнение Эйлера имеет вид

Экстремаль у=0 проходит через граничные точки только при и (рис. 3). Если и , то, очевидно, функция y=0 реализует минимум функционала , так как , причем при у = 0. Если же хотя бы одно из и , не равно нулю, то минимум функционала на непрерывных функциях не достигается, что и понятно, так как можно выбрать последовательность непрерывных функций графики которых состоят из все более и более круто спускающейся из точки (, ) к оси абсцисс дуги кривой, затем из отрезка оси абсцисс, почти совпадающего со всем отрезком (, ), и, наконец, возле точки , круто поднимающейся к точке (, ) дуги кривой (рис. 4). Очевидно, что на кривых такой последовательности значения функционала сколь угодно мало отличаются от нуля и, следовательно, нижняя грань значений функционала равна нулю, однако эта нижняя грань не может достигаться на непрерывной кривой, так как для любой непрерывной кривой у=у(х), отличной от тождественного нуля, интеграл . Эта нижняя грань значений функционала достигается на разрывной функции (рис. 5)

2) Функция F линейно зависит от у':

Уравнение Эйлера имеет вид

или

или

но это опять, как и в предыдущем случае, конечное, а не дифференциальное уравнение. Кривая , вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям, следовательно, вариационная задача, как правило, не имеет решения в классе непрерывных функций. Если же , то выражение является точным дифференциалом и

не зависит от пути интегрирования, значение функционала v постоянно на допустимых кривых. Вариационная задача теряет смысл.

Дата добавления: 2015-05-10