Преобразования фигур (лекция по тимом)

ПЛАН

1. Сущность метода преобразований, его место в школьном курсе геометрии.

2. Виды преобразований:

а) движения и их свойства; равенство фигур;

б) преобразование подобия; подобные фигуры.

3. Приложения метода преобразований.

(1) У различных авторов учебных пособий для средних школ по геометрии преобразования занимают разные по объёму и по уровню строгости положение. В учебном пособии под редакцией А. Н. Колмогорова преобразования служат основой доказательства многих теорем (их обоснованию посвящена специальная аксиома подвижности). В учебнике А. П. Киселева вообще ничего не говорится о преобразованиях.

В геометрии 7-11 А. В. Погорелова тема преобразования фигур рассматривается в восьмом классе. По объёму тема не велика. Понятие «преобразование» выводится на наглядно- интуитивном уровне: «Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь способом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной».

Описательное определение сопровождается рисунком. Даётся определение движения и рассматриваются его свойства. Далее чётко определяются конкретные виды преобразований. В данном учебном пособии симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, гомотетия и подобие определяется как преобразования с соответствующими свойствами; параллельный перенос определяется как преобразование в координатной форме; а поворот определяется как вид движения. Одновременно с определением преобразований даётся и способ построения фигур при преобразованиях.

В учебном пособии геометрия 7-9 (авторы: Л. С. Атанасян и др.) материал о преобразованиях представлен темой «Движения» в 9 классе. Это последняя тема в данном пособии. Здесь вводятся понятия «отображения плоскости на себя», «движение» и рассматриваются основные виды движений. Кроме того разбирается важный вопрос о связи понятий наложения и движения, доказывается их эквивалентность.

Основная цель темы – познакомить учащихся с понятием движения на плоскости, с конкретными видами движения: центральной и осевой симметрией, параллельным переносом, поворотом. Понятие отображения плоскости на себя рассматривается только как основа для введения понятия движения. Рассматривается отображение плоскости на себя на наглядно-интуитивном уровне с привлечением уже известных учащимся понятий осевой и центральной симметрии.

Так как программа общеобразовательной школы по математике пока не предусматривает подробного изучения различных свойств указанных преобразований, то вопрос использования преобразований следует вынести факультативные занятия или рассмотреть на занятиях математического кружка. Как уже говорилось выше, в курсе геометрии общеобразовательной школы не вдаются в подробности математического определения понятия «преобразования». Но учителю математики следует понимать, что в геометрии под преобразованием (в случае плоскости) понимают «отображение всей плоскости на себя, при котором каждая точка Х отображается в единственную точку Х ₁,а каждой точке Y ₁ соответствует единственная точка Y».

Учащимся мы говорим о преобразовании фигур. Фигура в отличии от плоскости конечна, поэтому понятие преобразования фигур более доступно. Учащимся можно сказать, что преобразование плоскости – это функция, причём образование, но в геометрии речь идёт о соответствии точек, а не чисел.

(2) Среди преобразований, изучаемых в школе, выделяют два их вида: движение и преобразование подобия. В школе изучаются не все виды преобразований.

(2а) В учебном пособии Геометрия 7-11 (автор А.В.Погорелов) дается следующее определение:

«Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки Х и Y одной фигуры в точки Х ₁ и Y ₁ другой фигуры так, что ХY = Х ₁ Y ₁».

Если рассматривается последовательное выполнение двух и более преобразований, то результат такого последовательного выполнения преобразований в геометрии называется композицией преобразований.

В этом учебном пособии дается только одно свойство композиции: два движения, выполненные последовательно, дают снова движение.

Рассматривается также преобразование, обратное данному. Доказывается, что преобразование, обратное движению, является движением.

Неявно присутствует свойство: композиция преобразования ему обратного является тождественным преобразованием.

Учащиеся должны понять, что после доказательства свойств движения можно оперировать уже не только точками, но и подвергать преобразованиям отрезки, прямые, лучи, углы и т.д. И можно быть совершенно уверенными, что фигуры, которые были подвергнуты преобразованию движения, перейдут в одноименные: отрезки перейдут в отрезки, углы в углы и т.д.; причём отрезки перейдут в равные отрезки, углы в равные углы и т.д.

В учебном пособии А. В. Погорелова доказывается, что симметрия относительно точки есть движение (с использованием первого признака равенства треугольников); симметрия относительно прямой есть движение (доказывается с помощью координатного метода). Во втором случае ось симметрии выбирается за ось ординат.

Следующий шаг в изучении движений – использование их для определения равенства фигур.

Равенство фигур в различных курсах школьной геометрии вводится по-разному. Иногда общего определения «равные фигуры» не даётся вообще, иногда оно вводится сразу. В учебном пособии А.В. Погорелова сначала вводится понятие равенства конкретных фигур (отрезков, углов, треугольников), а затем уже даётся общее определение равенства фигур с использованием понятия движения: «Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую.»

Доказывается важный факт: равенство треугольников, определяемое через их совмещение движением, и равенство, как мы его понимали до сих пор, выражают одно и то же. Другими словами, можно доказать равносильность двух определений. Доказательство состоит из двух частей: 1) из предположения, что 2 треугольника АВС и A ₁ В ₁ С ₁ совмещаются движением, доказывается равенство их соответствующих углов и сторон; 2) предполагается, что у данных треугольников равны соответствующие стороны и углы и доказывается, что они могут быть совмещены движением.

Первая часть доказательства опирается на определение движения и его свойства, что при движении сохраняются углы. Решение второй части задачи зависит от расположения треугольников. Рассмотрим один из вариантов доказательства, отличный от того, что приведён в учебнике А.В. Погорелова. Треугольник А ₂ В ₁ С ₂ получен из треугольника АВС параллельным переносом в направлении, заданном лучом АА ₂ на расстояние АА ₂. Треугольник A ₁ В ₁ С ₁ получен из треугольника А ₂ В ₁ С ₂ поворотом на угол α по часовой стрелке (см. рис. 1).

Основная цель изучения данной темы – познакомить учащихся с примерами геометрических преобразований.

При работе над темой основное внимание следует уделить отработке навыков построения образов простейших фигур (точек, отрезков, треугольников) при конкретных движениях. Свойство движения при этом используется на наглядно – интуитивном уровне, соответствующие теоремы могут быть рассмотрены без доказательств. В ходе решения задач учащиеся должны познакомиться с примерами фигур, обладающих симметрией.

Общее понятие о равенстве фигур может быть рассмотрено лишь в ознакомительном плане (например, в лекционной форме) без последующего воспроизведения доказательства учащимися.

В учебном пособии геометрия 7-9 Л.С. Атанасяна и др. тема «Движения» начинается с введения понятия отображения плоскости на себя, определение которого даётся описательно.

Изучение темы начинается с повторения понятия точки, симметричной относительно данной точки (центральная симметрия) и данной прямой (осевая симметрия).

Раннее, в 8 классе учащиеся рассмотрели центральную и осевую симметрию как свойство геометрических фигур. Теперь же эти, в общем-то, знакомые понятия, вводятся как примеры отображения плоскости на себя. В ходе повторения учащихся следует подвести к понятию сохранения расстояния между точками. Этой цели могут послужить примерно такие задачи.

1. Построить точки А ₁, В ₁, симметричные точкам А и В относительно прямой l (см. рис. 2а – 2в).

2. Существует ли на плоскости такая точка, для которой нет точки, симметричной относительно данной прямой?

3. Докажите, что в каждом из случаев 2а – 2б А ₁ В ₁ = АВ.

4. Постойте точки А ₁ и В ₁, симметричные точкам А и В относительно точки О, если а) точка О лежит на отрезке АВ; б) точка О не лежит на прямой АВ.

5. Существует ли такая точка в плоскости, для которой нет точки, симметричной относительно данной точки?

6. Докажите, что в каждом из рассмотренных в задаче 4 случаев А ₁ В ₁ = АВ.

Теперь можем ввести понятия отображения плоскости на себя и проиллюстрировать его примерами центральной и осевой симметрии. Важно подчеркнуть, что при отображении плоскости на себя выполняются 2 условия:

1) Каждой точке в плоскости ставится в соответствие какая-то одна точка плоскости;

2) Каждая точка плоскости оказывается поставлена в соответствие какой-то точке плоскости.

После этого можно рассмотреть задачи на закрепление данного понятия.

Теперь, опираясь на задание 3 и 6, рассмотренные выше, вводим понятие движения:

«Движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние».

Далее доказывается, что центральная и осевая симметрии являются движениями. Т.к. доказательства несложные, то их можно спросить у учащихся сразу на уроке (в качестве задач на доказательство).

После этого рассматривается теорема об отображении отрезка и следствие из неё. Следует акцентировать внимание учащихся на том, что доказательство состоит из 2 частей:

1) доказывается, что каждая точка Р данного отрезка MN отображается в некоторую точку Р ₁ отрезка M ₁ N ₁;

2) доказывается, что в каждую точку Р ₁ отрезка M ₁ N ₁ переходит какая-то точка Р данного отрезка MN.

Пункт «Наложение и движение» не является обязательным, но в хорошо подготовленном классе его можно рассмотреть. Данный материал можно изложить в лекционной форме. Понятие наложения, на основе которого определялось равенство фигур, относится в данном курсе геометрии к числу основных (неопределяемых) понятий. Наложения – это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах 7 – 13 (Атанасян Л.С. и др. Гео. 7- 9).

Движение – определяемое понятие: это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние.

Из определения движения и аксиом наложения непосредственно следует, что любое наложение является движением. Доказывается и обратное утверждение: любое движение является наложением.

Таким образом, понятие наложение совпадает с понятием движения.

От учащихся требовать доказательство фактов, которые изложены в пункте 115, не нужно.

Материал о параллельном переносе и повороте ещё двух видах движений – можно также преподнести в форме лекции. Полезно обратить внимание учащихся на то, что при параллельном переносе прямая отображается на параллельную ей прямую или сама на себя. Отсюда следует простой способ построения образов прямых и отрезков при параллельном переносе.

Доказательство того, что параллельный перенос и поворот являются движениями, сильные ученики могут разобрать по учебнику самостоятельно прямо в классе с последующим общим обсуждением. От слабых учащихся требовать воспроизведения доказательств не следует.

В конце главы приведены геометрические задачи, для решения которых рекомендуется применять движения.

Некоторые из этих задач даны с решением.

(2b) Преобразование подобия играет важную роль в геометрии. Это и понятно. Наше реальное пространство обладает группой подобия. Все геометрические объекты пространства, если они образованы из отрезков прямых, могут делиться на 2 множества: подобных и неподобных фигур. В множестве подобных фигур могут быть и равные. Понятие о подобии фигур у ребёнка возникает значительно раньше, чем понятие об их размерах. Это объясняется особенностями зрительного восприятия: Две фигуры разных размеров, но одинаковые по форме им не различаются.

Форма фигур не изменяется, когда изменяется расстояние, с которого видна фигура. Основными признаками неизменяемости формы фигуры является равенство углов и пропорциональность соответствующих отрезков.

В учебном пособии А.В. Погорелова Геометрия 7 – 11 определения преобразования подобия вводится аналогично определению движения:

Преобразование фигуры F в фигуру F₁ называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояние между точками увеличиваются (или уменьшаются) в одно и то же число раз.

Это значит, что если произвольные точки А и В фигуры F при этом преобразовании переходят в точки A ₁ и В ₁ фигуры F ₁, то А ₁ В ₁ = kАВ. Число k называется коэффициентом подобия.

После введения данного понятия доказывается, что гомотетия есть преобразование подобия. Этот факт доказывается векторным методом. Аналогично, как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А ₁, В ₁, С ₁, лежащие на одной прямой, причём порядок их взаимного расположения сохраняется. Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, лучи в лучи, отрезки в отрезки.

С использованием гомотетии доказывается, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Следует обратить внимание учащихся, что не всякое преобразование подобия является гомотетией.

С помощью понятия преобразования подобия даётся определение подобных фигур. В учебнике А.В. Погорелова сначала даётся определение подобных фигур: «Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия».

Для обозначения подобных фигур используется специальный символ ~ (F ~ F ₁).

Затем рассматривается подобие треугольников.

В записи ∆ АВС ~∆ А ₁ В ₁ С ₁ предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т.е. А переходит в А ₁ и т.д.

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Доказательство признаков подобия проводится с использованием понятия гомотетии. Отдельно рассматриваются признаки подобия прямоугольных треугольников.

В теме «Многоугольники» рассматриваются вопрос о подобии правильных выпуклых многоугольников.

В теме «Площади фигур» рассматривается вопрос о площади подобных фигур: «площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров».

Понятие преобразования фигур в пространстве вводится так же, как и на плоскости. Однако есть и некоторые особенности.

При рассмотрении преобразования симметрии в пространстве кроме симметрии относительно точки и прямой добавляется симметрия относительно плоскости. Новым свойством движения в пространстве является то, что движение переводит плоскости в плоскости. Новым для параллельного переноса в пространстве является свойство: при параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

При рассмотрении темы «Подобия пространственных фигур» добавляются следующие утверждения: «преобразование подобия переводит плоскости в плоскости» и «преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k =1)».

При рассмотрении преобразований в пространстве можно ограничится их интуитивно-наглядными представлениями и не акцентировать внимания на выводе используемых фактов. А основной акцент сделать на применении преобразований при доказательстве теорем и при решении задач.

В учебном пособии Л.С. Атанасяна и др. в 8 классе в главе VII рассматривается тема «Подобные треугольники», которая начинается с введения понятия пропорциональных отрезков. Учащимся разъясняется, что в повседневной жизни приходится иметь дело с предметами одинаковой формы, но разных размеров. Такие предметы и являются прообразами подобных геометрических фигур. Основное внимание уделяется подобным треугольникам. Подобие треугольников вводится не с помощью преобразования подобия, а через равенство углов и пропорциональность сходственных сторон. Признаки подобия треугольников весьма просто доказываются, опираясь на теорему: «Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы».

После доказательства признаков подобия показано применение подобия к доказательству теорем и решению задач. В качестве практических приложений подобия треугольников описаны способы изменения высоты предмета и расстояния до недоступной точки. Дано представление о применении метода подобия при решении задач на построение.

В очень краткой форме рассказано о том, как можно определить подобие произвольных фигур. используется символика: ∆ АВС ~∆ А ₁ В ₁ С ₁ (треугольник АВС подобен треугольнику А ₁ В ₁ С ₁). Даётся понятие центрально-подобных фигур: «каждой точке М фигуры F сопоставляется точка М ₁ плоскости так, что точки М и М ₁ лежат на луче с началом в некоторой фиксированной точке О, причём ОМ ₁ = kОМ (см. рис. 3). В результате такого сопоставления получается фигура F₁, подобная фигуре F. В этом случае фигуры F и F ₁ называются центрально-подобными».

(3) Метод преобразований используется при рассмотрении различных теоретических вопросов курса геометрии: Применение движения при определении равенства фигур: применение преобразования подобия при изучении подобных треугольников (в учебном пособии А.В. Погорелова); тесно связаны параллельный перенос и векторы.

Широко применяется метод преобразований при решении различных геометрических задач. Однако подобно с применением этого метода при решении задач учащихся на уроках школьной математики не знакомят. Этот вопрос выносится на факультативные или внеклассные занятия.

Метод преобразований используется при решении задач на доказательство, на построение, при решении так называемых геометрических задач на нахождение максимума и минимума. При этом используются все виды преобразований.

Дата добавления: 2015-05-10