Уравнение энергии

Закон сохранения энергии. Энергетический баланс. Энергия, работа, тепло. Внутренняя энергия, потенциальная энергия, кинетическая энергия.

Уравнение Бернулли для газа. Уравнение энтальпии. Адиабатное течение. Энергоизолированное течение. Изоэнтропное течение.

Энергоизолированное изоэнтропное течение.

Изучение основных уравнений и зависимостей, применяемых в газовой динамике, удобно провести сначала для элементарной струйки или одномерного потока, а затем распространить их на более сложные виды движения.

Большое значение в газовой динамике имеет закон сохранения энергии. Он, как известно, констатирует тот факт, что

энергия не возникает и не исчезает, а только превращается из одного вида в другой.

Следовательно, составив баланс энергии для какого-нибудь количества газа, например, для единицы массы, можно найти соотношение между различными составляющими энергии. Такая математическая запись энергетического баланса и представляет собой уравнение энергии.

Составление баланса энергии рассмотрим на примере газотурбинной установки [1], схема которой изображена на рисунке 6.

Через входное сечение 1 воздух из атмосферы поступает в компрессор, где сжимается и подается в камеру сгорания. Туда же, в камеру сгорания, поступает жидкое топливо, которое, смешавшись с воздухом, сгорает, выделяя большое количество тепла. Таким образом, в турбину из камеры сгорания поступают образовавшиеся там продукты сгорания с высокой температурой и высоким давлением. В турбине они расширяются, производя работу — вращая ротор. Часть работы турбины при помощи вала передается на вращение компрессора, другая часть отдается потребителю. Отработанные газы покидают турбину, выходя через сечение 2.

Энергия поступающего воздуха, отнесенная к единице массы, обозначена Е₁, энергия выходящего газа — Е₂.

Подведенное тепло обозначено Q_е. Индекс «е» означает, что тепло подводилось извне (externus – лат. внешний, посторонний).

Здесь нет никакого противоречия: несмотря на то, что сгорание происходило внутри камеры и тепло, подогревающее газ, выделялось именно там, энергия эта была внесена снаружи в скрытом виде, вместе с топливом. Следовательно, поскольку не ставится задача изучения физико-химических процессов горения, а рассматриваются только явления газодинамического характера, то можно считать, что тепло в количестве Q_е было внесено в камеру сгорания снаружи.

Работа на валу установки, отданная потребителю, обозначена L. Она также отнесена к единице массы проходящего через установку воздуха.

На рисунке 7 изображена упрощенная схема течения. На расчетном участке между сечениями 1 и 2, так же как и в предыдущем случае, подводится тепло и отводится механическая работа. Следовательно, для упрощенной схемы баланс энергии будет таким же, как и для газотурбинной установки, но пользоваться этой схемой проще и удобнее.

Баланс энергии для рассматриваемой схемы течения можно записать следующим уравнением:

Е₁ - Е₂ + Q_е - L = 0. (2.1)

Далее необходимо расшифровать, что подразумевается под полным запасом энергии единицы массы газа Е. При этом нужно иметь в виду, что в «полный запас энергии» нет надобности включать все ее составляющие (например, химическую, электрическую, внутриядерную); вполне достаточно принимать в расчет только те ее виды, которые могут превращаться один в другой в пределах изучаемых газодинамических задач. Тогда можно записать, что

E= u + p/ρ + w²/2 + gz, (2.2)

где u – внутренняя энергия единицы массы газа;

p/ρ – потенциальная энергия давления единицы массы газа;

w²/2 – кинетическая энергия единицы массы газа;

gz– потенциальная энергия положения (уровня) единицы массы газа;

z – геометрическая высота;

g – ускорение силы тяжести.

Все указанные величины измеряются в единицах работы на единицу массы, а именно в дж/кг или, что то же самое, в м²/сек² (в системе СИ).

Подставив в уравнение (2.1) значения Е₁ и Е₂, выраженные с помощью уравнения (2.2), и учитывая, что разность внутренних энергий u₁ – u₂ = C_v(T₁-Т₂), получим

C_v(T₁-Т₂) +p₁/ρ₁-p₂/ρ₂ +(w₁²- w₂²)/2+g(z₁-z₂) +Q_е-L= 0. (2.3)

Это и есть уравнение энергии для одномерного потока или для элементарной струйки. Оно показывает, как происходит изменение внутренней энергии C_v(T₁-Т₂), потенциальной энергии давления p₁/ρ₁-p₂/ρ₂, кинетической энергии (w₁²- w₂²)/2, потенциальной энергии положения g(z₁-z₂) в результате действия подведенного извне тепла Q_е и работы L, отданной газом внешнему потребителю. Изменение внутренней энергии связано с изменением температуры газа, кинетической энергии — с изменением скорости потока, потенциальной энергии уровня — с изменением высоты положения рассматриваемой массы газа над плоскостью, принятой за начало отсчета. Что касается изменения потенциальной энергии давления, то оно требует специальных разъяснений.

На рисунке 8 изображен расчетный участок потока, ограниченный на входе сечением 1 и на выходе — сечением 2.

При входе газа через сечение 1 силы внешнего давления р₁F₁, вталкивая в расчетный, участок объем газа F₁Δx₁, совершают работу p₁F₁Δx₁.

При выходе из расчетного участка, через сечение 2 объем газа F₂Δx₂ совершает работу против сил внешнего давления p₂F₂Δх₂. Поделив эти работы на массу газа в соответствующих объемах, получим

L_вт= p₁F₁Δx₁/ ρ₁F₁Δx₁= p₁/ρ₁ ,

L_выт= p₂F₂Δx₂/ ρ₂F₂Δx₂= p₂/ρ_2.

Следовательно, p₁/ρ₁-p₂/ρ₂=L_вт-L_выт представляет собой разницу работ вталкивания и выталкивания единицы массы газа. Эта величина характеризует накопление (если p₁/ρ₁>p₂/ρ₂) потенциальной энергии давления или расходование ее (если p₁/ρ₁<p₂/ρ₂) потоком газа, находящимся внутри расчетного участка.

Изменение потенциальной энергии уровня g(z₁-z₂) в задачах, связанных с расчетом теплоэнергетических машин или установок, как правило, составляет пренебрежимо малую величину по сравнению с другими членами уравнения энергии. Оно обычно не превышает 50…100 м²/сек², тогда как другие члены имеют порядок 10 000…100 000 м²/сек². Поэтому во всех дальнейших рассуждениях и расчетах величина g(z₁-z₂) будет отброшена. Однако, нужно обратить внимание на задачи такого рода, как расчет вентиляционных систем шахт, в которых изменение потенциальной энергии уровня весьма велико и может превышать значения других членов уравнения энергии. В этих случаях величина g(z₁-z₂) должна учитываться обязательно.

Уравнению энергии можно придать другую, во многих случаях более удобную для расчетов форму. Преобразуем сумму членов

C_v(T₁-Т₂) +p₁/ρ₁-p₂/ρ₂ = (C_vT₁+p₁/ρ₁) -(C_vT₂+p₂/ρ₂)=

=(C_vT₁+RT₁) -(C_vT₂+ RT₂)= (C_v +R)(T₁-Т₂) = C_p(T₁-Т₂),

используя известное из термодинамики соотношение C_p–C_v=R, и подставим полученное выражение в уравнение (2.3). Тогда уравнение энергии можно записать более компактно

C_p(T₁-Т₂) + (w₁²- w₂²)/2 + Q_е - L = 0, (2.4)

а главное, три термодинамических параметра p, ρ и T теперь можно заменить всего лишь одним – энтальпией h=C_рТ. («Три в одном»!)

h₁-h₂ + (w₁²- w₂²)/2 + Q_е - L = 0. (2.5)

Этот вид уравнения энергии называют еще уравнением энтальпии или теплосодержания, так как в него входит энтальпия h.

В уравнении энергии принято следующее правило знаков. Подведенное внешнее тепло считается положительным, а отведенное — отрицательным; работа, совершенная газом и отведенная к внешнему потребителю, — положительной, а подведенная к газу извне и затраченная на его сжатие — отрицательной. Таким образом, в нагревателе газа (камере сгорания) тепло считается положительным, в охладителе — отрицательным; работа, получаемая в турбине, — положительной, а затрачиваемая на вращение компрессора — отрицательной. Это правило знаков согласуется с уравнением первого закона термодинамики.

Уравнение энергии часто применяется в дифференциальной форме. Чтобы получить его в этой форме, воспользуемся таким приемом. Будем мысленно приближать второе сечение к первому, уменьшая длину расчетного участка до бесконечно малой величины. Тогда в пределе получим вместо Q_е и L соответственно dQ_е и dL, авместо конечных разностей Т₁–Т₂ и (w₁²- w₂²)/2 получим соответствующие дифференциалы – dТ и – d(w²/2).

В последних двух выражениях знак минус появился потому, что берутся бесконечно малые разности T₁—Т₂ и (w₁²- w₂²)/2, а не T₂—Т₁ и (w₂²- w₁²)/2.

Подставив это в уравнение энергии (2.4) и поменяв знаки на обратные, получим уравнение энергии в дифференциальной форме или дифференциальное уравнение энергии

C_pdT + d(w²/2) - dQ_е + dL = 0. (2.6)

***

Если сопоставить выражение для полного запаса энергии (2.2)

E= u + p/ρ + w²/2 + gz,

с левой частью уравнения Бернулли, которая также представляет величину полного запаса энергии единицы массы несжимаемой жидкости

p/ρ + w²/2 + gz = const,

то можно заметить, что в случае газа дополнительно введена величина внутренней энергии u. Это объясняется тем, что при ρ≠соnst тепловые процессы оказывают влияние на плотность газа, и так как его расширение или сжатие связано с работой, то в конечном итоге это влияние распространяется на механические составляющие энергии. Таким образом, в уравнениях энергии (2.4) и (2.5) присутствуют величины, имеющие как механическое, так и тепловое (калорическое) происхождение.

Еще одной разновидностью уравнения энергии является обобщенное уравнение Бернулли для газа [2]. От уравнений (2.4) или (2.5) оно отличается тем, что все входящие в него слагаемые имеют механическое происхождение. Это уравнение можно получить следующим путем. Воспользуемся тем же самым приемом, с помощью которого выше было получено дифференциальное уравнение энергии (2.6) и представим уравнение (2.3) в дифференциальном виде:

C_vdT + d(p/ρ) + d(w²/2) - dQ_е + dL = 0. (2.7)

Количество тепла Q, воспринимаемое газом, и количество тепла Q_е, подводимое к нему извне, в общем случае не одинаковы: существует еще теплота тренияQ_r, которая выделяется вследствие трения газа о стенки, внутреннего трения (возникающего между слоями, движущимися с разными скоростями), образования вихрей и т.п. Это тепло также воспринимается газом. Поэтому

Q = Q_е + Q_r = Q_е + L_r. (2.8)

Тогда

dQ_е = dQ – dL_r, (2.9)

где L_r— работа трения (в системе единиц СИ Q_r=L_r).

Количество тепла, воспринимаемое газом, можно определить с помощью уравнения первого закона термодинамики

dQ = C_vdT + pdv. (2.10)

Подставив это выражение в формулу (2.9), получим

C_vdT = dQ_e + dL_r -pdv. (2.11)

Кроме того,

d(p/ρ)=d(pv)=pdv+vdp/. (2.12)

После подстановки формул (2.11) и (2.12) в уравнение энергии (2.7) и замены удельного объема через плотность v=1/ρ получаем уравнение Бернулли для газа в дифференциальной форме

dp/ρ+d(w²/2)+dL+dL_r=0. (2.13)

При решении конкретных задач уравнение Бернулли интегрируют в пределах от начального сечения расчетного участка до конечного

₁²∫(dp/ρ)+(w₂²- w₁²)/2 + L+ L_r=0. (2.14)

Если в процессе решения нужно получить параметры потока в каком-нибудь промежуточном сечении расчетного участка, то при интегрировании это сечение принимается за конечное. При решении можно брать неопределенный интеграл. Константа интегрирования определяется тогда из граничных условий, в качестве которых обычно берут условия на входе в расчетный участок.

Для того чтобы вычислить ∫(dp/ρ), надо знать зависимость между р и ρ, т.е. иметь уравнение термодинамического процесса, при котором происходит течение газа, например уравнение политропы p/ρⁿ=const. Если известен термодинамический процесс, то известен и показатель политропы. При политропном процессе интегрирование дает

(2.15)

при изотермном процессе (n=1)

₁²∫(dp/ρ)=(p₁/ρ₁)ℓn(p₂/p₁)=RT₁ℓn(p₂/p₁). (2.16)

Сопоставляя между собой уравнение энергии и уравнение Бернулли, например (2.4) и (2.14), можно заметить, что первое учитывает внешнее тепло, но не содержит работы трения в явном виде, тогда как второе не содержит в явном виде внешнего тепла, но учитывает работу трения. Поэтому создается впечатление, что эти уравнения не учитывают всех особенностей течения. В действительности это не так. Хотя работа трения и не входит явно в уравнение энергии, но ее влияние сказывается, прежде всего, на температуре Т₂.

Что касается уравнения Бернулли, то в нем внешнее тепло учитывается при вычислении ∫(dp/ρ), а именно, от количества подведенного тепла зависит величина показателя политропы n.

Рассмотрим уравнения энергии для частных случаев течения газа.

Адиабатное ( или адиабатическое ) течение. Такое течение происходит без внешнего подвода или отвода тепла, т.е. Q_е=0. Относительно внутреннего теплоподвода (тепла трения Q_r) никаких оговорок не делается, т.е. оно либо присутствует, либо равно нулю. Уравнение энергии в этом случае имеет вид:

C_p(T₁-Т₂) + (w₁²- w₂²)/2 - L = 0, (2.17)

а уравнение Бернулли сохраняет форму (2.14)

₁²∫(dp/ρ)+(w₂²- w₁²)/2 + L+ L_r=0.

Уравнение (2.17) имеет большое значение в экспериментальной практике. Им пользуются, например, при экспериментальном определении работы турбины или компрессора, когда непосредственное определение мощности по крутящему моменту и числу оборотов затруднительно по техническим причинам. Для этого необходимо только измерить температуры и скорости газа на входе в машину и выходе из нее и произвести вычисление по формуле (2.17). Заметим, что практически дело обстоит еще проще. Измеряются не температуры газа и скорости раздельно, а температуры торможения.

Энергоизолированное течение. Такое течение происходит без внешнего теплообмена (Q_е=0) и без подвода или отвода внешней механической работы (L=0), т.е. без обмена энергией с внешней средой на участке между входным и выходным сечением. Уравнение энергии для энергоизолированного течения записывается так:

C_p(T₁-Т₂) + (w₁²- w₂²)/2 = 0, (2.18)

или

C_pT₁+ w₁²/2 = C_pТ₂+ w₂²/2. (2.19)

Смысл последнего равенства состоит в том, что при энергоизолированном течении полный запас энергии единицы массы газа остается неизменным, так как на расчетном участке энергия извне не подводится и не отводится во внешнюю среду.

Уравнение Бернулли для этого вида течения приобретает вид:

₁²∫(dp/ρ)+(w₂²- w₁²)/2 + L_r=0. (2.20)

Моделью энергоизолированного потока пользуются при расчете диффузоров, неохлаждаемых сопел и других неподвижных каналов, в которых теплообмен с внешней средой пренебрежимо мал.

Изоэнтропное (или изоэнтропийное или изоэнтропическое) течение. Такое течение происходит при постоянной энтропии S=соnst. Для постоянства энтропии необходимо выдержать условие Q=0. Из формулы (2.8) следует, что это может быть при Q_е=0,Q_r=0 или при Q_е= – Q_r. Второй случай предусматривает теплоотвод во внешнюю среду, в точности равный теплоподводу от трения. Такой точный тепловой баланс редко может встречаться в практике, а потому здесь не рассматривается. Таким образом, можно считать, что течение будет изоэнтропным в том случае, если отсутствует трение и внешний теплообмен. Для этого вида течения уравнение энергии записывается так же, как и для адиабатного течения (см. формулу (2.17))

C_p(T₁-Т₂) + (w₁²- w₂²)/2 - L = 0,

а уравнение Бернулли имеет вид:

₁²∫(dp/ρ)+(w₂²- w₁²)/2 + L=0. (2.21)

При вычислении интеграла здесь нужно иметь в виду, что р и ρ связаны уравнением изоэнтропы p/ρ^k=const. Моделью изоэнтропного потока пользуются при теоретических расчетах и исследованиях идеальных компрессоров и турбин.

Энергоизолированное изоэнтропное течение. Такое течение происходит без энергетического обмена с внешней средой (Qе=0, L=0) и без трения (Lr=Qr=0). При этом автоматически соблюдаются условия изоэнтропности (изоэнтропийности) процесса. Уравнение энергии имеет тот же вид, что и для энергоизолированного течения (2.18) или (2.19)

C_p(T₁-Т₂) + (w₁²- w₂²)/2 = 0,

C_pT₁+ w₁²/2 = C_pТ₂+ w₂²/2,

а уравнение Бернулли записывается так:

₁²∫(dp/ρ)+(w₂²- w₁²)/2 =0. (2.22)

Здесь также при вычислении интеграла связь между давлением и плотностью устанавливается уравнением изоэнтропы. Этот частный случай применяется довольно широко. Например, в теоретической газодинамике большинство задач рассматривается в предположении именно такого вида течения.

В дифференциальной форме уравнения (2.18) и (2.22) имеют следующий вид:

C_pdT + d(w²/2) = 0, (2.23)

dp/ρ + d(w²/2) = 0. (2.24)

Рассмотрим еще две весьма употребительных формы записи уравнения Бернулли для энергоизолированного изоэнтропного течения. Интегрируя уравнение (2.24), имеем [3]

∫(dp/ρ) + w²/2 = const.

Используя уравнение изоэнтропы

p/ρ^k = B = const,

и следующие очевидные соотношения

ρ^k = (p/B); ρ = (p/B) ^1/k; B ^1/k = (p/ρ^k)^1/k =p^1/k/ρ;

найдем значение интеграла

∫(dp/ρ) =∫(dp/(p/B) ^1/k)= B ^1/k∫(dp/p ^1/k)= B ^1/k∫p ^-1/kdp=

= B ^1/kp ^(1-1/k)/(1-1/k)= p^1/k∙ p ^(1-1/k)∙ k/ρ∙(k-1) =

=(k/(k-1))(p^1/k∙ p ^(k-1)/k/ρ) = (k/(k-1)) p/ρ.

и, подставив его в предыдущее уравнение, получим

(k/(k-1)) p/ρ + w²/2 = const. (2.25)

Если сопоставить уравнение (2.25) с уравнением Бернулли для горизонтального течения идеальной несжимаемой жидкости

p/ρ + w²/2 = const,

то можно заметить, что они отличаются только первым слагаемым: для газа коэффициент, стоящий перед p/ρ равен k/(k-1) тогда как для несжимаемой жидкости он равен 1. Таким образом, величина k/(k-1) учитывает влияние сжимаемости.

Если воспользоваться соотношением, с помощью которого определяется скорость распространения звука a²= kRT= kp/ρ, и преобразовать первое слагаемое уравнения (2.25), то последнее приобретает вид:

a/(k-1) + w²/2 = const. (2.26)

Эта форма записи уравнения Бернулли широко применяется в теоретической газодинамике.

G p/ρ^k=const. p/ρ = RT. a= √kRT. a²= kRT= kp/ρ.

Е₁ - Е₂ + Q_е - L = 0. E= u + p/ρ + w²/2 + gz.

C_v(T₁-Т₂) +p₁/ρ₁-p₂/ρ₂ +(w₁²- w₂²)/2+g(z₁-z₂) +Q_е-L= 0.

C_vdT + d(p/ρ) + d(w²/2) - dQ_е + dL = 0.

C_p(T₁-Т₂) + (w₁²- w₂²)/2 + Q_е - L = 0.

h₁-h₂ + (w₁²- w₂²)/2 + Q_е - L = 0.

C_pdT + d(w²/2) - dQ_е + dL = 0.

dp/ρ+d(w²/2)+dL+dL_r=0.

(k/(k-1)) p/ρ + w²/2 = const. a/(k-1) + w²/2 = const.

p/ρ + w²/2 = const.

[1] Баланс энергии можно составить для любой схемы течения. Пример с газотурбинной установкой взят потому, что в нем присутствуют все составляющие энергетического баланса, рассматриваемые в газодина­ми­ческих задачах.

[2] Необходимо заметить, что это уравнение было получено в наши дни. Имя Даниила Бернулли ему присвоено потому, что оно является обобщением известного в гидродинамике уравнения Бернулли на случай течения газа.

[3] Берется неопределенный интеграл.

Дата добавления: 2015-05-10