Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Решение задач Штурма-Лиувилля




Задачу Штурма-Лиувилля в общем виде мы, конечно, решить не сможем. Однако некоторые частные случаи удается разобрать до конца и получить формулы для собственных значений и собственных функций. Разберем эти случаи.

Вначале рассмотрим уравнение (18) y'' + λy = 0. и краевые условия первого рода (19) y(a) = y(b) = 0. Для удобства будем считать, что a = 0 и b = l > 0. К такой задаче можно всегда свести данную задачу, если сделать замену переменной x' = x - a, при этом вид уравнения не изменится.

Вид общего решения уравнения (18) зависит от значений параметра λ. Разберем три случая: 1) λ < 0, 2) λ = 0, 3) λ > 0. В первом случае обозначим λ = - k2. Тогда характеристическое уравнение r2 - k2 = 0 будет иметь действительные различные корни r1 = k, r2 = - k: Поэтому, общее решение дифференциального уравнения запишется в виде y = C1ekx + C2e-kx. Подставим краевые условия в общее решение и получим

Определитель этой системы равен

Следовательно, система имеет только нулевое (тривиальное) решение C1 = C2 = 0. Значит, при λ < 0 данная задача не имеет собственных значений. Если λ = 0, то общее решение уравнения y'' = 0 записывается в виде y = C1x + C2. При подстановке краевых условий получим: Поэтому, точка λ = 0 также не является собственным значением задачи. Наконец, в третьем случае обозначим λ = k2 и получим характеристическое уравнение r2 + k2 = 0. Оно имеет комплексные корни r1 = ki и r2 = -ki и общее решение дифференциального уравнения в этом случае запишется в виде y = C1cos kx + C2sin kx. Подставим краевые условия в общее решение:

(22)

Для того, чтобы эта система имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы sin kl = 0. Следовательно kl = πn, то есть Так как то можно ограничиться только положительными значениями n = 1, 2,.... Таким образом, собственные значения данной задачи имеют вид При этих значениях алгебраическая система (22) имеет решения:C1 = 0, C2 - любое действительное число. Подставим эти значения в общее решение дифференциального уравнения и получим собственные функции задачи

Обычно постоянный множитель выбирают либо равным единице, либо из условия нормировки:

По тому же алгоритму решаются задачи Штурма-Лиувилля следующего вида:

(23)

и

(24)

Эти задачи так же, как и предыдущая, при λ 0 не имеют собственных значений. В случае λ > 0 общее решение уравнения записывается в виде y = C1cos kx +C2sin kx, где После подстановки у в краевые условия, получим:

а) для задачи (23)

b)для задачи (24)

Для того, чтобы эти системы уравнений имели нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы cos kl = 0. Следовательно, то есть Отрицательные значения n можно не рассматривать, так как Таким образом, собственные значения у этих задач одинаковые

Собственные функции задачи (23) имеют вид А у задачи (24) они другие:

 

Некоторые отличия возникают при решении задачи Штурма-Лиувилля в случае краевых условий второго рода

y'' + λy = 0, y'(0) = y'(l) = 0. (25)

Рассуждениями, аналогичными тем, которые проводились для краевых условий первого рода, можно показать, что задача (25) при λ < 0 не имеет собственных значений. А вот λ = 0 является собственным числом. В самом деле, при λ = 0 общее решение уравнения имеет вид y = C1x + C2. После подстановки у в краевые условия (25) получим: C1 = 0, C2 - любое действительное число. Следовательно, функция у = 1 является собственной функцией задачи. Другие собственные значения и собственные функции получаются при λ > 0. В этом случае, общее решение уравнения имеет вид y = C1cos kx + C2sin kx, Найдем производную этой функции и подставим в нее краевые условия (25):

Эта алгебраическая система имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда, sin kl = 0 то есть kl = πn или Таким образом, числа также являются собственными значениями задачи. Собственные функции при этих значениях имеют вид . Окончательно, задача (25) имеет собственные значения и собственные функции

Для задачи Штурма-Лиувилля с краевыми условиями третьего рода (21) уже не удается получить собственные значения в явном виде. В качестве примера рассмотрим одну такую задачу, когда

y'' + λy = 0, y'(0) = y(0), y'(l) = 0. (26)

При задача (26) не имеет собственных значений и собственных функций. Доказательство этого проводится так же, как и для краевых условий первого рода. При λ > 0 общее решение уравнения записывается в виде y = C1cos kx + C2sin kx, где . После дифференцирования этой функции и подстановки её производной и самой функции в краевые условия (26) будем иметь:

или

(27)

Получившаяся алгебраическая система будет иметь нетривиальные решения только в том случае, когда

cos kl - ksin kl = 0

или

ctg kl = k (28)

Уравнение (28) является трансцендентным уравнением относительно k. Оно не решается в явном виде. Однако, построив графики левой и правой частей уравнения (28), видно, что оно имеет бесконечно много решений (см. рис.13). Обозначим корни уравнения (28) через rn, n = 1,2,.... Тогда при


Рис.13

Численными методами можно найти приближенные значения rn. Из системы (27) при k = rn получим C1n = rnC2n, где C2n -произвольные постоянные. При этих значениях постоянных решения дифференциального уравнения будут иметь вид

yn = C2n (rn cos rnx + sin rnx).

Они являются собственными функциями краевой задачи (26) с собственными значениями

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-10; Просмотров: 12288; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.