Отношение эквивалентности и порядка

1) Определение бинарного отношения.

Бинарное отношение на множестве Х – всякое подмножество декартова произведения Х х Х.

2) Примеры двух отношений, графы.

Отношение «больше» на множестве Отношение «кратно» на множестве

Х = {2, 4, 6, 8, 12} Х = {2, 4, 6, 12}

3) Свойства данных отношений.

1. Рефлексивность – каждый элемент множества находится в заданном отношении с самим собой.

2. Симметричность – элемент х находится в заданном отношении с элементом у, т.е. элемент у находится в заданном отношении с элементом х.

3. Антисимметричность – для различных элементов из множества Х выполнено условие: элемент х находится в заданном отношении с элементом у, т.е. элемент у в заданном отношении с элементом х не находится.

4. Транзитивность – элемент х находится в заданном отношении с элементом у и элемент у находится в заданном отношении с элементом z, т.е. элемент х находится в заданном отношении с элементом z.

4) Определение отношения эквивалентности.

Отношение эквивалентности – отношение, которое одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Например, К: «длина отрезка х равна длине отрезка у». Х = {а, b, c, d, e, f}.

5) Связь отношения эквивалентности с разбиением множеств на классы.

Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности). Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве Х, порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.

6) Определение отношения порядка.

Отношение порядка – отношение, которое одновременно обладает свойством антисимметричности и транзитивности.

Например, Р: «длина отрезка х больше длины отрезка у». Х = {a, b, c, d, e, f}.

7) Упорядочение множеств.

Упорядоченное множество – множество, на котором задано отношение порядка.

Покажите, что в следующем задании речь идет об отношении эквивалентности: «Укажите числа, которые можно вставить вместо квадратов, чтобы равенства были верные:

2, 2, 6, 4, 4.

Дата добавления: 2015-05-10