Первого порядка

ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

К уравнениям с разделяющимися переменными после надлежащей подстановки приводятся однородные уравнения. Под однородным дифференциальным уравнением 1 -го порядка мы понимаем уравнение y΄= f (x, y), когда в нем функция f (x, y), представляет собой однородную функцию переменных x и y нулевой степени однородности и, следовательно, зависит от их отношения ¹⁾. Таким образом, рассматриваемые уравнения будут вида

. (1)

Подстановкой мы добиваемся разделения переменных. Так как , то ; подставляя в уравнение (1), получаем: ,или

. (2)

Предполагая, что и , разделяем переменные и интегрируем: . Обозначая через , получаем общий интеграл уравнения (1) в виде:

. (3)

Уравнение в симметрическом виде

(4)

является однородным, когда - однородные функции одной и той же степени однородности.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

. (5)

Решение. Написав его в симметрической форме: , видим (проверьте!), что оно является однородным.

Применяем подстановку(!) .

Тогда . Подставляя в (5), получаем: ; . Разделяем переменные и интегрируем: ; (С ≠0);

. (6)

Далее разрешаем (6) относительно и следующим приемом: ; умножая числитель и знаменатель дроби на сопряженное со знаменателем выражение, получаем:

. (7)

Складывая (6) и (7), находим: ; ; ; . Обозначая , получаем окончательно: .

Графиком решения служит парабола, ось симметрии которой – ось ОХ, а фокус лежит в начале координат.

Ответ: .

Дата добавления: 2015-05-10