Динамика электрона в кристалле

По идее де- Бройля движение электрона или какой-либо другой частицы связано с волновым процессом, длина волны которого равна:

,

где –скорость движения частицы, m–масса частицы.

Согласно этой гипотезы импульс электрона будет связан с его волновым вектором к следующим соотношением:

Скорость поступательного электрона:

Кинетическая энергия электрона будет равна (*)-эта формула выражающая зависимость энергии свободного электрона от его волнового вектора.

Рисунок 1 –Графическая зависимость энергии свободного электрона от его волнового вектора.

Дифференцируя (*) по к получим: . Подставив это в выражение для импульса и скорости найдем:

, .

В таком виде выражение для импульса и скорости поступательного движения оказывается справедливым не только для свободных электронов, но и для электронов, движущихся в периодическом поле. Импульс Р в этом случае называют квазиимпульсом электрона.

Создадим, в кристалле внешнее поле Е. Это поле будет действовать на электрон с силой F=-gE, сообщая ему ускорение .

За время dt сила F произведет работу .Эта работа идет на приращение энергии электрона Отсюда находим что . Подставив это выражение в правую часть выражения для ускорения получим Эта формула устанавливает связь между ускорением электрона и внешней силой F, действующей на него со стороны внешнего поля Е. Эта формула выражает второй закон Ньютона (. Из нее следует, что под действием внешней силы электрон в периодическом поле кристалла движется в среднем так, как двигался бы под действием силы свободный электрон, если бы он обладал массой . Эта масса называется эффективной массой электрона.

Приписывая электрону, находящемуся в периодическом поле кристалла, массу m, мы можем считать электрон свободным и описывать его движение во внешнем поле так, как описывается движение обычного свободного электрона. Эффективная масса не выражает ни гравитационные, ни инерционные свойства. Она является лишь коэффициентом уравнения и отражает меру взаимодействия электрона и кристаллической решетки. Однако эффективная масса, заключая в себя особенность присущую движению электрона в периодическом поле кристалла, явления своеобразной величиной. Она может быть как положительной, так и отрицательной. По абсолютному значению она может быть как во много раз больше, так и во много раз меньше массы покоя электрона.

Рисунок 2

Рассмотрим (рисунок 2)зависимость полной энергии электрона, его скорости поступательного движения и эффективной массы от волнового вектора к, который изменяется в пределах от 0 до ±π/а. У дна разрешенной зоны (то есть вблизи к=0), энергия электрона Е(к) с увеличением к растет примерно пропорционально , скорость поступательного движения электрона увеличивается пропорционально к, ускорение движения положительно и эффективная масса сохраняет постоянное положительное значение . В точке А, то есть в точке перегиба кривое Е(к) вторая производная , а первая производная будет достигать своего максимального значения. Поэтому при приближении к этой точке эффективная масса будет стремиться в бесконечность , а скорость поступательного движения будет стремиться к своему максимальному значению . То что означает, что на движение электрона, находящегося в состоянии с энергией , внешнее поле не будет создавать никакого воздействия. За точкой перегиба производная начнет убывать, поэтому будет убывать и скорость. Ускорение становится, таким образом, отрицательным(так как ), что при сохранившемся направлении действия внешней силы F эквивалентно изменению знака эффективной массы с положительного на отрицательный. При этом может измениться и абсолютная величина , если изменяется кривизна кривой Е(к), пропорциональная . У вершины зоны Е(к) снова становится квадратичной функцией к и эффективная масса достигает постоянного отрицательного значения . Фактически это означает, что под действием сил F электрон находящийся с энергией получает ускорение, противоположное по направлению внешней силы.

Эффективную массу электрона можно также измерить экспериментально. Наиболее распространенные методы определения эффективной массы электронов это циклотронный резонанс, измерение электронной теплоемкости. Циклотронный резонанс – это избирательное взаимодействие высококачественного электромагнитного поля с заряженными частицами, движущихся в постоянном магнитном поле, сопровождающиеся резкими увеличениями или уменьшениями энергии частиц. В плоскости перпендикулярной силовым линиям магнитного поля частица (при наличии поперечной составляющей скорости) совершает периодическое движение по круговой траектории под действием силы Лоренца.

Частота периодического движения называется циклотронной частотой, она связана с индукцией магнитного поля В соотношением

. Явление циклотронного резонанса происходит при частоте электромагнитного поля равной или кратной . Поэтому измеряя частоту электромагнитного излучения, определяют и .

Дата добавления: 2015-05-10