Запитання

Основні поняття теорії множин

Розглянемо поняття рівності множин.

Дві множини рівні, якщо вони містять однаковий набір елементів. Позначається А = В. якщо множини не рівні, це позначається А ≠ В. Число елементів скінченної множини А позначається як | A |.

Приклад. Нехай задані множини

A = {1, 2, 3, 4, 5};

B – множина натуральних чисел від 1 до 5;

C = {c | 1≤c ≤5, cÎN};

D = {4, 1, 5, 2, 3}.

Ці множини містять один набір елементів, тому А = В = С = D.

При заданні множин можуть бути неточності або збитковості, які необхідно усувати. Розглянемо приклади.

Приклад. Розглянемо множину А залишків, що одержуються при послідовному діленні натуральних чисел {3, 4, 5, …} на 3: А = {0, 1, 2, 0, 1, 2, 0…}. Ця множина містить всього 3 елементи 0, 1, 2. Тому її можна записати у вигляді А = {0, 1, 2}.

Приклад. Нехай В – множина всіх видів шахових фігур, а С – множина всіх шахових фігур, що беруть участь в одній грі. Тоді | B | = 6 (пішак, тура, слон, кінь, ферзь, король), а | C | = 32 (16 білих і 16 чорних).

Множина А, всі елементи якої належать множині В, називається підмножиною множини В. Позначення: А Í В – нестроге включення означає, що А підмножина множини В і може співпадати з В. А Ì В - строге включення означає, А - підмножина множини В і не співпадає з В.

Виконання співвідношення А Í В і В Í А можливе тільки при А = В. І навпаки, А = В, якщо А Í В і В Í А.

Іноді в літературі використовують символ Ì як нестроге включення, тоді строге включення записують так: А Ì В, А≠В.

Універсальною називається множина, яка містить всі можливі елементи, що зустрічаються в даній задачі. Універсальна множина позначається символом U.

Зауважимо, що універсальна множина може бути індивідуальною для кожної задачі і визначається неявно в її умові. Наприклад, в задачі йдеться про множини А – юнаки групи, В – множина відмінників в групі. Тоді універсальною є множина студентів групи а множини А і В – її підмножини. Але якщо в задачі визначається ще одна множина С – збірна технікуму по волейболу, то універсальною множиною буде множина всіх студентів технікуму.

Порожньою або пустою називається така множина, яка не містить ніяких елементів. Її позначка - Æ.

Порожня множина є підмножиною будь-якої множини. Таким чином, будь-яка непуста множина має як мінімум 2 підмножини – саму себе та пусту множину. Але {a} ≠ {Æ, a}, тому, що |{Æ, a}| = 2, а |{a}| = 1.

Множину всіх підмножин множини Х назвемо множиною ступенів, або булеаном множини Х, і позначають як 2^Х.

Приклад. Нехай А = {a, b, c}, її потужність | A | = 3.

Всі підмножини утворюють 2^A = {Æ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}, її потужність |2^A| = 8.

Для довільної множини Х з n елементів кількість всіх її підмножин дорівнює 2ⁿ, тобто | 2^X | = 2^{| X |}.

1. Наведіть приклади множин, елементами яких є множини.

2. Наведіть приклади скінченних і нескінченних множин.

3. Яку множину називають упорядкованою?

4. Наведіть відомі вам способи задання множин.

5. В яких випадках множина задана некоректно? Прикдади.

6. Наведіть приклади парадоксів. Коли вони виникають?

7. Які множини вважаються рівними?

8. Чи можуть два елементи однієї множини бути однаковими?

9. Визначте поняття підмножини і включення множин.

10. Наведіть приклади множин А і В для випадків А Ì В і А Í В.

11. Чим відрізняється строге включення від нестрогого? Наведіть приклад.

12. Як визначається рівність множин через поняття нестрогого включення?

13. Яка множина називається універсальною?

14. Яка множина називається порожньою?

15. Як позначається множина всіх підмножин деякої множини? Скільки елементів вона містить?

Дата добавления: 2015-05-10