Розв’язок. Спочатку розрахуємо сподівані норми прибутку за кожним проектом, використовуючи формулою (1):

Завдання 3

Розв’язок.

Спочатку розрахуємо сподівані норми прибутку за кожним проектом, використовуючи формулою (1):

М(1)=+4%*0,3+1,6%*0,7=2,32%;

М(2)=-3,1%*0,3+4,6%*0,7=2,29%.

Обчислимо дисперсії ефективності цих проектів за формулою (2):

s² (1)=(4-2,32)² *0,3+(1,6-2,32)² *0,7=1,2;

s² (2)=(-3,1-2,29)² *0,3+(4,6-2,29)² *0,7=12,5.

Тепер можна розрахувати ризик цих проектів за формулою (3):

s(1)=Ö1,2=1,095;

s(2)=Ö12,5=3,53.

Можна зробити висновок, що сподівана прибутковість і ризик обох проектів неоднакові. Сподіваний дохід першого проекту є більшим, а ступінь ризику першого проекту є меншою. Відсоток, під який взято гроші в борг, нижчий, ніж сподівана прибутковість першого проекту (1,095%<2,32%),а в другому випадку вищий (3,53>2,29), тому можна вважати, що інвестор вчинив розсудливо.

Висновок щодо вибору одного із двох проектів потрібно зробити з точки зору ризику банкрутства. Для цього розрахуємо виграш інвестора, тобто той процент який він отримає після того як розрахується за користування позикою. Для зручності розрахунків побудуємо табл.10.

Таблиця 10

Виграш інвестора

	Ситуація А	Ситуація Б
Проект 1	4%-1,095%=2,9%	1,6%-1,095%=0,5%
Проект 2	-3,1%-3,53%=-6,63%	4,6%-3,53%=1,07%
Ймовірність виникнення ситуації	0,3	0,7

Як бачимо із табл.10 другий проект збанкрутує коли відбудеться ситуація А. Ситуації А і Б мають різну ймовірність, тому з точки зору ризику банкрутства рішення інвестора полягає у виборі такого проекту ймовірність банкрутства якого буде меншою. Другий проект збанкрутує з ймовірністю 0,3, тобто, треба обрати для впровадження перший проект.

Підприємство повинно визначити виробництво певного виду продукції для задоволення потреб споживача протягом визначеного часу. Конкретна кількість споживачів невідома, але очікується, що вона може становити одне із п’яти значень – S1,S2,S3,S4 і S5. Для кожного з цих значень існує п’ять альтернативних варіантів рішень – А1,А2,А3,А4 і А5.

Для кожного із можливих значень існує найкраща альтернатива з точки зору можливих прибутків (табл.3). Відхилення від цих альтернатив призводить до зменшення прибутків через підвищення пропозицій над попитом або неповного задоволення попиту.

Потрібно знайти оптимальну альтернативу випуску продукції з точки зору максимізації прибутків за допомогою критеріїв Байєса за умов, що ймовірності виникнення попиту відповідно складуть 0,1;0,2;0,3;0,25;0,15,а також Лапласа, Вальда, Севіджа за умов повної невизначеності і Гурвіца із коефіцієнтом оптимізму 0,6.

Прибутки за альтернативними рішеннями

Альтернативне рішення	Кількість споживачів
S1	S2	S3	S4	S5
А1
А2
А3
А4
А5

Оптимальна альтернатива за критерієм Байєса знаходиться за формулами:

Для F⁺ Аі*=max _i { V(Ai,Sj)*Pj}; (5)

Для F^- Аі*=min _i { V(Ai,Sj)*Pj}. (6)

Ми знаходимо оптимальну альтернативу випуску продукції з точки зору максимізації прибутків, тобто функціонал оцінювання має позитивний інгредієнт - F⁺ і будемо використовувати відповідні формули. Всі розрахунки показані в табл.12

Таблиця 12

Вибір оптимального рішення за критерієм Байєса

Варі-анти рі-	Варіанти станів середовища	V(Ai,Sj)*Pj	max i { V(Ai,Sj)*Pj}
шень	S1	S2	S3	S4	S5		А2*
А1						7*0,1+8*0,2+6*0,3+17*0,25+22*0,15=11,65
А2						13*0,1+23*0,2+18*0,3+14*0,25+24*0,15=18,4
А3						11*0,1+6*0,2+17*0,3+15*0,25+10*0,15=12,65
А4						12*0,1+23*0,2+13*0,3+6*0,25+10*0,15=12,7
А5						17*0,1+6*0,2+10*0,3+14*0,25+19*0,15=12,25

За критерієм Байєса оптимальним буде альтернативне рішення А3.

Критерій Лапласа характеризується невідомим розподілом ймовірностей на множині станів середовища і базується на принципі «недостатнього обґрунтування», який означає: якщо немає даних для того, щоб вважати один із станів середовища більш ймовірним, то ймовірності станів середовища треба вважати рівними. Оптимальна альтернатива за критерієм Лапласа знаходиться за формулами:

Для F⁺ Аі*=max _i {1/n V(Ai,Sj)}; (7)

Для F^- Аі*=min _i {1/n V(Ai,Sj)}. (8)

Всі розрахунки в табл.13.

Таблиця 13

Вибір оптимального рішення за критерієм Лапласа

Варі-анти рі-шень	Варіанти станів середовища	1/n V(Ai,Sj)	max i { 1/n V(Ai,Sj)}
	S1	S2	S3	S4	S5		А2*
А1						1/5*(7+8+ 6+17+22)=12
А2						1/5*(13+23+ 18+14+24)=18,4
А3						1/5*(11+6+ 17+15+10)=11,8
А4						1/5*(12+23+ 13+6+10)=12,8
А5						1/5*(17+6+ 10+14+19)=13,2

За критерієм Лапласа оптимальним буде альтернативне рішення А2.

Критерій Вальда вважається самам обережним із критеріїв. Оптимальне альтернативне рішення за критерієм Вальда знаходиться за формулами:

Для F⁺ Аі*=max _i min _j { V(Ai,Sj)}; (9)

Для F^- Аі*=min _i max _j { V(Ai,Sj)}. (10)

Всі розрахунки в табл.14.

Таблиця 14

Вибір оптимального рішення за критерієм Вальда

Варі-анти рі-шень	Варіанти станів середовища	min j { V(Ai,Sj)}	max i min j { V(Ai,Sj)}
	S1	S2	S3	S4	S5
А1							А1*
А2							А2*
А3
А4
А5

За критерієм Вальда оптимальними будуть альтернативні рішення А1 і А3, які вважаються еквівалентними, тобто мають однакові переваги для виконання.

Для того, щоб застосувати критерій Севіджа, потрібно побудувати матрицю ризику, як лінійне перетворення функціоналу оцінювання.

Для побудови матриці ризику використовують такі формули:

Для F⁺ Rіj*=max _i { V(Ai,Sj)} - V(Ai,Sj); (11)

Для F^- Rij*= V(Ai,Sj) - min _i { V(Ai,Sj)}. (12)

Матрицю ризику побудуємо в табл.15.

Таблиця 15

Побудова матриці ризику

Варіанти	Матриця прибутків (V(Ai,Sj))	Матриця ризику (Rij)
рішень	Варіанти станів середовища	Варіанти станів середовища
	S1	S2	S3	S4	S5	S1	S2	S3	S4	S5
А1						17-7=10	23-8=15	18-6=12	17-17=0	24-22=2
А2						17-13=4	23-23=0	18-18=0	17-14=3	24-24=0
А3						17-11=6	23-6=17	18-17=1	17-15=2	24-10=14
А4						17-12=5	23-23=0	18-23=-5	17-6=11	24-10=14
А5						17-17=0	23-6=17	18-10=8	17-19=-2	24-19=5

Тепер можна застосувати критерій Севіджа до матриці ризику за формулою:

Аі*=min _i max _j { Rij}. (13)

Всі розрахунки в табл.16.

Таблиця 16

Вибір оптимального рішення за критерієм Севіджа

Варі-анти рі-шень	Варіанти станів середовища	max j { Rij}	min i max j { Rij}
	S1	S2	S3	S4	S5
А1							А2*
А2
А3
А4			-5
А5				-2

За критерієм Севіджа оптимальним буде альтернативне рішення А3.

Критерій Гурвіца дозволяє встановити баланс між випадками крайнього оптимізму і випадками крайнього песимізму за допомогою коефіцієнта оптимізму a. a визначається від нуля до одиниці і показує ступінь схильностей людини, що приймає рішення, до оптимізму або песимізму. Якщо a=1, то це свідчить про крайній оптимізм, якщо a=0 - крайній песимізм. За умов задачі a=0,6.

Оптимальна альтернатива за критерієм Гурвіца знаходиться за формулами:

Для F⁺ Аі*=max_i{a*max_j{V(Ai,Sj)}+(1-a)min_j{V(Ai,Sj)}}; (14)

Для F^- Аі*=min_i{(1-a)*max_j{V(Ai,Sj)}+amin_j{V(Ai,Sj)}}. (15)

Всі розрахунки в табл.17.

Таблиця 17

Вибір оптимального рішення за критерієм Гурвіца

Варіан-ти рішень	Варіанти станів середовища	maxj{V(Ai,Sj)}	minj{V(Ai,Sj)}	a*maxj{V(Ai,Sj)}+(1-a)minj{V(Ai,Sj)}	maxi{a*maxj{V(Ai,Sj)}+(1-a)minj{V(Ai,Sj)}}
S1	S2	S3	S4	S5
А1								22*0,6+6*0,4=15,6
А2								24*0,6+13*0,4=19,6	А2
А3								17*0,6+6*0,4=12,6
А4								23*0,6+6*0,4=16,2
А5								19*0,6+6*0,4=13,8

Оптимальним рішенням за критерієм Гурвіца буде альтернативне рішення А2.

Завдання 4

Виробник звернувся у відділ маркетингу для того, щоб з’ясувати сподіваний попит на товар. Дослідження відділу маркетингу показали: ймовірність того, що попит складе 1000 одиниць товару – 0,1; 3000 – 0,5; 5000 – 0,25; 8000 – 0,15. Відхилення від цих рівнів призводить до додаткових витрат або через перевищення пропозиції над попитом - 2 грн., або через неповне задоволення попиту – 1 грн. за одиницю. Доход від виробництва – 12 грн. за одиницю. Для прийняття рішення виробнику потрібно врахувати думку директора з маркетингу і фінансового директора відносно їх корисності різних сум доходів(табл.5).

Потрібно: визначити скільки виробити продукції за допомогою критерію сподіваного доходу; побудувати два графіки корисності і визначити за ними відношення до ризику обох директорів; визначити корисність доходів для кожного директора і скільки одиниць продукції потрібно випустити з точки зору кожного директора за правилом сподіваної корисності.

Дата добавления: 2015-05-26