Застосування дискретних моделей для розрахунку вартості опціонів

Оскільки при фінансових операціях із цінними паперами існує досить велика позитивна ймовірність, що відбудеться зміна цін на цінні папери, то підприємці "страхують" свої операції, використовуючи похідні цінні папери. Найпоширенішими з них є опціони. Згідно з чинним законодавством, опціон на цінні папери - цс контракт або домовленість, оформлена певним видом документа (опціонним свідоцтвом), що дає одній особі право придбати в іншої особи або продати іншій особі цінні папери чи їх групу в будь-який момент протягом визначеного терміну з фіксацією ціни реалізації на дату складання опціона, при цьому продавець опціона має зобов'язання щодо безумовної і безвідмовної пропозиції про реалізацію прав покупця опціона на придбання (продаж) цінних паперів або їх групи протягом терміну дії опціона. Покупець опціона має право відмовитись від придбання (продажу) цінних паперів або їх групи

Для оцінки раціональної вартості опціона відомі різноманітні моделі: (модель Блека-Шоулза, модель Кокса-Росса-Рубінштейна, що більшою чи меншою мірою оперують імовірнісними характеристиками зміни цін на активи. А зміна ціни є обов'язковою, оскільки підставою для укладення контракту с протилежна думка майбутніх учасників угоди щодо можливої зміни ціни курсу акцій (чи інших активів).

Для визначення ціни опціона ми розглянемо модель Блека-Шоулза, яка накладає такі обмеження на ринок:

1) короткотермінова відсоткова ставка є відомою та постійною;

2) ціна акції є неперервною випадковою величиною часу із дисперсією, пропорційною квадрату ціни акції. Ставка дисперсії за прибутковістю акції с постійною;

3) за акцією не виплачуються дивіденди та жодні інші платежі;

4) опціон с "європейським", тому він може бути виконаний тільки у час виконання;

5) відсутні трансакційні платежі;

6) існує можливість боргової позички для частини ціни цінного паперу під короткотермінові відсоткові ставки відсотка;

За цих умов вартість опціона залежатиме тільки від ціни акції, часу та змінних, що ми прийняли за постійні.

Позначимо w(x,t) - ціну опціона як функцію ціни акції х та часу t. Тоді кількість опціонів, що мають бути у короткому продажу, проти однієї акції у довгому продажу (довга позиція за опціоном - позиція покупця опціона, коротка позиція - позиція продавця опціона:

(11.1)

У виразі (1) так позначається часткова похідна w(x,f) за першим аргументом. І Щоб побачити, що вартість у такій хеджованій позиції не залежить від і ціни акції, зауважимо, що відношення зміни ціни опціона до зміни ціни акції І (при малій зміні ціни акції) є w_t(x,t). При першому наближенні, коли ціна акції зміниться на , ціна опціона зміниться на w₁(x,t) x, і кількість опціонів,

що дана виразом (1), зміниться на х. Отже, зміна вартості довгої позиції акції буде приблизно компенсована зміною вартості у короткій позиції 1/ w₁(x,t) опціонів. В загальному, оскільки хеджована позиція складається із однієї акції у довгій

позиції і , опціонів у короткій, то ціна залишку у позиції дорівнює:

(11.2)

Зміна вартості залишку під час короткого інтервалу t:

(11.3)

Припускаючи, що позиція змінюється неперервно, ми можемо використати стохастичне числення, щоб розписати

w(x,t) = w(x + x,t + t) - w{x,t)

в такий спосіб:

w(x, t) = w₁ х + w₁₁ v²x² t + w₂ t. (11.4)

У рівнянні (4) індекси w відповідають частковим похідним av ² - ставка дисперсії по прибутковості акції. Підставляючи рівняння (4) у вираз (3), ми знаходимо, що зміна вартості у хеджованій позиції:

-( w₁₁ v²x²) (11.5)

Оскільки прибутковість у хеджованій позиції є в певний спосіб визначеною, то прибутковість повинна дорівнювати r t.

Отже, зміна вартості залишку (5) мас дорівнювати зміні вартості залишку

(2) за час t

-( w₁₁ v²x²+w²) = r t (11.6)

Скорочуючи на t в обох частинах рівняння і перегруповуючи, отримаємо диференційне рівняння для визначення вартості опціона:

w₂=rw-rxw₁- v²x²w₁₁ (11.7)

Позначимо t* за дату виконання опціона, а с за ціну виконання опціона. Тоді знатимемо, що

w(x,t)= (11.8)

Існує тільки один розв'язок, який задовольняє диференційне рівняння (7) із граничною умовою (8). Цей розв'язок с формулою для знаходження ціни опціона. Щоб розв'язати це диференційне рівняння, зробимо заміну

w(x,t)= (11.9)

Із цією підстановкою, рівняння виглядатиме

y₂=y₁₁ (11.10)

І гранична умова перетвориться в такий спосіб:

y(u,0)= (11.11)

Диференційне рівняння (10) є рівнянням передачі теплоти у фізиці і його розв'язок поданий Черчелeм. У наших позначеннях, розв'язком є

y(u,s)= 11.(12)

Підставляючи (12) у рівняння (9) і спрощуючи його, отримаємо

w(x,t)=xN(d₁)+ce^r(t-t)N(d₂)

(11.13)

d₂=

У рівнянні (13) N(d) є функцією нормального розподілу. Зауважимо, що очікувана прибутковість акції не з'являється в рівнянні (1З). Вартість опціона як функції від ціни акції с незалежною від очікуваної прибутковості акції. Очікувана прибутковість опціона тим не менше залежатиме від прибутковості акції. Чим швидше зростає ціна акції, тим швидше зростає ціна опціона через функціональну залежність (13). Зауважимо, що дата

виконання (t^* -t) у формулі з'являється тільки помноженим на ставку відсотка

і ставку дисперсії v² Отже, збільшення терміну виконання спричинятиме такий самий ефект на вартість опціона, як таке саме відсоткове збільшення r та v²

Формула обчислення вартості (13) була виведена із припущень, що опціон

може бути виконаний тільки в час t^*. Вартість американського кол-опціона

Є така сама, як і вартість європейського кол-опціона.

Проста модифікація формули зробить її можливою для європейського пут-опціона (опціон на продаж) так само, як і для кол-опціонів (опціонів для

купівлі). Враховуючи u(x_tt) для вартості пут-опціона, ми бачимо, що диференційне рівняння не зміниться:

u₂=ru-rxu₁- v²x²u₁₁ (11.14)

Щоб отримати розв'язок цього рівняння із новими граничними умовами, зауважимо, що різниця між вартісно кол- і вартістю пут-опціона за тією самою акцією, якщо обидві виконуються тільки в термін виконання, повинна задовольняти тt саме диференційне рівняння, але з такою граничною умовою:

w(x,t^*)-u(x,t*) = x-c. (11.15)

Розв'язок диференційного рівняння із цією граничною умовою:

(11.16)

Тоді вартість європейського пут-опціона:

Підставляючи вартість із (13) і зауважуючи, що l-N(d) дорівнює N(-d), отримаємо

(11.17)

Для підтвердження результатів цієї формули були проведені тести для великої кількості кол-опціонів. Ці тести показали, що актуальна ціна, за якою купуються і продаються опціони, відхиляється в певний систематичний спосіб від вартості, що передбачається за формулою. Покупці опціонів платять ціну, вищу за передбачену формулою. Автори опціонів отримують ціну, що є приблизно на рівні передбаченої. Існують великі кошти на проведення операцій на опціонному ринку, і майже всі платяться покупцем опціонів. Також виявилося, що різниця між ціною, що платять покупці опціонів, і вартістю, що отримана за формулою, є більша для опціонів за акціями із великим ризиком.

Після виведення формули для обчислення раціональної вартості опціона може постати питання: як побудувати стратегію поведінки на ринку, щоб знизити ризик банкрутства? В загальному випадку на цс питання відповісти складно, оскільки розмаїтість комбінацій цінних паперів значно ускладнює математичний апарат розрахунків.

Відтак обмежимось розглядом тільки комбінацій опціонів. Загалом такі позиції називаються спред-позиціями. Ці стратегії визначаються портфелем кол-опціонів (кол-спред) або портфелем пут-опціонів (пут-спред). Існує велике розмаїття таких спред-стратегій, проте надалі розглядатимемо лише вертикальний спред - купівля - продаж опціонів, які відрізняються тільки ціною виконання. Наведемо найпоширеніші різновиди таких стратегій:

1) кол-спред "бик" (купити кол із нижчою ціною виконання і продати кол із вищою ціною виконання);

2) кол-спред "ведмідь" (купити кол із вищою ціною виконання і продати кол із нижчою ціною виконання);

3) пропорційний спрсд (купити кол із нижчою ціною виконання і продати два кола із вищою ціною виконання);

4) спрсд "метелик" (купити кол із найнижчою ціною виконання, продати два кола із вищою ціною виконання, купити кол із найвищою ціною виконання).

Цс ми розглядали лише чисті опціонні стратегії (тобто операції або із кол-опціонами, або із пут-опціонами). Розглянемо тепер приклад комбінованої позиції (операції як із кол-, так із пут- опціонами), а саме стредл. Ця стратегія полягає у комбінації колчшціона і пут-опціона із однаковими цінами виконання. Прибуток портфеля можливий або при дуже стрімкому зростанні цін, або при їх стрімкому падінні, а при стабільності цін покупець такого портфеля не виграс. Більш дешевою альтернативою виступає інша стратегія - стренгл, коли пут-опціон купується із меншою ціною виконання, ніж кол-опціон. Тобто список стратегій, що розглядаються, поповниться ще двома пунктами:

5) стредл (купити кол-опціон і пут-опціон із однаковими цінами виконання);

6) стренлг (купити кол-опціон із вищою ціною виконання, купити пут-опціон із нижчою ціною виконання);

Проаналізуємо ці стратегії з точки зору оптимальності прибутку (відповідно буде і мінімізація збитків). Надалі аналізуватимемо тільки сторону покупця. Природно, що його бажанням буде отримання максимального прибутку із мінімальним ризиком. Проте поняття мінімального ризику буде різним для різних людей залежно від індивідуальної схильності до ризику. Ті люди, які є більш ризиковими по натурі (наприклад, ті, що грають в казино), оберуть стратегію, яка забезпечуватиме досить значний прибуток, навіть якщо він пов'язаний із великим ризиком. Інші люди, що не є схильними до ризику по натурі, нададуть перевагу стратегії, яка забезпечуватиме досить таки стабільний прибуток, навіть якщо його величина не буде дуже великою. Тобто, покупці спершу намагатимуться вирішити для себе співвідношення "прибуток-ризик", а тоді обиратимуть певну стратегію. Взагалі кажучи (якщо грамотно створити хеджовану позицію, то портфель покупця буде практично безризиковим), різними комбінаціями стратегій можна знизити ризик, але прорахунок прибутку у такому випадку вимагатиме складного математичного результату. Ми обмежимося тільки аналізом стратегій, викладених вище.

Використавши формулу Блека-Шоулза, визначимо раціональні вартості. Початкові дані вважаємо такими:

1) ціна акції х = 20;

2) ціни виконання опціонів відповідно задаються далі;

3) дата виконання опціона t^*=t

4) ставка дисконту r = 0,1;

5) ставка дисперсії по прибутковості акції v² =1.

(для розрахунку використана програма, написана на Maple V Release 5). Проте тут не будемо виписувати всіх результатів, зазначимо тільки "найкращий" та "найгірший" результати (з точки зору прибутковості). Відкрита позиція:

+20. 05

-0.05 Спред (продати два кол-опціони):

+39. 46

-20. 05 Спред-"ведмідь";

+40. 65

-19.34 Пропорційний спред:

+38. 75

-61.25 Спред-"метелик":

+95. 89

-64. 12

(числа показують прибуток у гривнях).

Класифікуємо вибір позиції залежно від того, наскільки людина схильна до ризику. Результати запишемо в табл. 11.1.

Таблиця 11.1

Класифікація позиції

Схильність до ризику	Мала	Середня	Велика	Дуже велика
Вибір стратегії	Відкрита позиція	Спред- "ведмідь"	Спред- "метелик"	Стренгл або стредл

Тільки при великій схильності до ризику індивіди обиратимуть стредл або стренгл страгегії, оскільки прибуток у цих стратегіях можливий лише при стрімкому зростанні (падінні) ціни на акції.

Оскільки опціонний ринок України є порівняно новим і не достатньо вивченим, то вважаємо за доцільне брати до уваги вищенаведені результати як наближену рекомендацію щодо поведінки індивіда на ринку цінних паперів. Наближеність результатів пояснюється накладанням "ідеальних" умов на ринок та досить суворими початковими умовами для практичного розрахунку.

ТЕМА 12

ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ І ТЕХНІЧНИЙ АНАЛІЗ

План викладу матеріалу теми

1. Зміст і основні цілі фундаментального інвестиційного аналізу на фондовому ринку

2. Суть рейтингової оцінки акцій і облігацій

3. Показники оцінки акцій І облігацій

4. Фінансова оцінка цінних паперів

5. Методи порівняльної оцінки акцій

6. Зміст технічного інвестиційного аналізу на фондовому ринку

7. Фондові індекси в системі аналізу та оцінки ринку ЦП

12.1. Зміст і основні цілі фундаментального інвестиційного аналізу на фондовому ринку

Фундаментальний аналіз передбачає ретельне вивчення фінансово-господарського становища емітента, прогнозування його майбутнього в контексті стану та ймовірних змін зовнішнього середовища господарювання.

Основною метою фундаментального аналізу є прогнозування майбутніх доходів емітента та пов'язаних з ними дивідендів і балансової вартості акції. Визначивши їх розмір у майбутньому, переводять отримані значення у поточний час. Одержана в результаті розрахунків дисконтована вартість г "справжньою". Якщо вона вища за ринкову ціну, то акція вважається "недооціненою", тобто її варто купувати, оскільки згодом ринкова ціна наблизиться до ''справжньої"". І навпаки, надто ризиковано, коли ринкова ціпа вища за "справжню" вартість, акція є "переоціненою" і купувати її, сподіваючись на майбутнє підвищення цін, надто ризиковано. Якщо ж інвестор мав у своєму портфелі такі акції, то їх бажано продати, а потім знову можна придбати, коли ринкова ціна врешті-решт впаде нижче за "справжню" вартість.

Предмет, зміст і основні цілі фундаментального аналізу узагальнено в табл. 12.1.

Таблиця 12.1

Логіка фундаментального аналізу

ПРЕДМЕТ АНАЛІЗУ	ЗМІСТ І ОСНОВНІ ЦІЛІ
Інвестиційна привабливість ринку, підприємства (галузі)	Аналіз ринку (галузі) з метою оцінки зовнішніх чинників, що формують ринкову (галузеву) прибутковість, безпеку і ліквідність інвестицій Оцінка місця підприємства на ринку (в галузі)
Господарська діяль- ність підприємства	Кількісний та якісний аналіз ресурсів, що використовую­ться ідприємством, процесів трансформації ресурсів (технології та орга- нізації), кінцевих результатів діяльності підприємства як внутрішніх чинників, що впливають на прибутковість і ліквідність активів підприємства, безпеки інвестування в підприємство
Прогноз діяльності підприємства	Прогноз майбутньої кон'юнктури ринку, оцінка майбу­тнього місця підприємства на ринку (в галузі) з метою визначення май бут- ньої прибутковості, безпеки й ліквід­ності інвестицій у підприємство

Фундаментальний аналіз здійснюється за допомогою стандартних методів аналізу і прогнозування.

Дата добавления: 2015-05-26