Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя

Практическая работа № 16

Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производную функции f(x).

т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.

Пример 1. Найти производную второго порядка функции

Решение.

Пример 2. Найти третью производную от функции в точке

Решение.

Пример 3. Вычислить значения первой и второй производных функции в точке

Решение.

Пример 4. Найти если

Решение.

Пример 5. Найти производную порядка функции

Решение.

…………………………

Пример 6. Записать формулу для производной порядка, если

Решение.

…………………………

Пример 7: Точка движется прямолинейно по закону . Вычислить скорость и ускорение в момент времени .

Решение:

Скорость: .

(ед. скорости).

Ускорение: .

.

Т.е ускорение постоянно в любой момент времени, следовательно, ед. ускорения.

Пример 8. Найти дифференциал второго порядка функции

Решение.

Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х- независимая переменная, то

dx = Dx, но

если х зависит от t, то Dх ¹ dx.

Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

Пример. Найти производную функции .

Сначала преобразуем данную функцию:

Пример. Найти производную функции .

Пример. Найти производную функции

Пример. Найти производную функции

Пример. Найти производную функции

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Дифференциал функции y = f(x) зависит от Dх и является главной частью приращения Dх.

Также можно воспользоваться формулой

Тогда абсолютная погрешность

Относительная погрешность

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

Если подставить в эту формулу выражение

то получим приближенную формулу:

Пример. Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции при x = 1, y = 2, z = 1.

Из заданного выражения определим Dx = 1,04 – 1 = 0,04, Dy = 1,99 – 2 = -0,01,

Dz = 1,02 – 1 = 0,02.

Найдем значение функции u(x, y, z) =

Находим частные производные:

Полный дифференциал функции u равен:

Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Пример 1. Найти .

.

Пример 2. Найти .

…

Пример 3. Найти .

.

Пример 4: Найти предел .

Здесь

Тогда . Следовательно

Пример5: Найти предел .

Решение.

Пример 6. Найти .

Пример 7: Найти предел .

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = e^x;

;

Пример 8: Найти предел .

; ;

.

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Пример 9: Найти предел .

; ;

; ;

; ;

Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

Пример 10: Найти предел .

; ;

- опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

; ;

- применяем правило Лопиталя еще раз.

; ;

;

Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

Пример 11: Найти предел .

; - получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.

; ;

Задания

1)

2)

3) ; ;

4

5) ;

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21) ;

22)

Дата добавления: 2015-05-31