Планирование производства

Основная цель планирования любой деятельности - получение оптимального результата (максимальной прибыли, объема производства, минимальных издержек и т.п.) при имеющихся ограничениях. Разработке оптимальных программ (в смысле – планов) посвящен раздел математики под названием математическое программирование (не путать с представлением алгоритмов на языках программирования). Стандартная формулировка задачи математического программирования: требуется найти экстремум (минимум или максимум) целевой функции, наиболее полно характеризующей бизнес-процесс, при наложенных ограничениях. Допустимое решение, отвечающее этим условиям, называется оптимальным планом. Его может не существовать, если наложенные ограничения противоречивы, а иногда может существовать множество решений (разные планы приводят одинаковому результату). Если целевая функция и ограничения задаются линейными уравнениями, то такие задачи являются задачами линейного программирования.

Рис. 6. Окно подключения надстроек

Для решения задач линейного программирования используются различные методы (Ньютона, наискорейшего спуска, симплекс-метод), общий принцип которых сводится к следующему. Выбирается неоптимальный опорный план (изменяемые значения) и его параметры варьируются с целью последовательного улучшения плана, то есть оптимизации целевой функции с использованием надстройки «Поиск решения», что дает возможность решать оптимизационные задачи, не вникая в сложную математику.

Рассмотрим следующую задачу планирования производства.

Для изготовления двух видов продукции П1 и П2 используют четыре вида ресурсов Р1, Р2, Р3 и Р4. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице 1 (единицы измерения условные). Прибыль, получаемая от единицы продукции П1 и П2, – 2 и 3 руб. соответственно. Необходимо произвести поиск такого плана производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Таблица 1

Вид ресурса	Запас ресурса	Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции
П1	П2
Р1
Р2
Р3
Р4

Решение начнем с составления математической модели задачи. Параметрами, значения которых требуется определить, является планируемое количество единиц каждого вида продукции П1 и П2. Обозначим эти параметры х ₁ и х ₂ соответственно. Тогда целевая функция F (суммарная прибыль от обоих видов продукции) определится следующей формулой:

F= 2 x ₁ + 3 x ₂. (1)

По смыслу задачи изменяемые параметры х ₁ и х ₂ должны быть целыми и неотрицательными. От них зависит не только прибыль, но и объем затрачиваемых ресурсов. Так как потребление ресурсов не должно превышать их запасов (табл. 1), то ограничения на потребление ресурсов выразится системой неравенств:

(2)

Итак, математическая модель задачи: найти такой план выпуска продукции (подобрать целые неотрицательные х ₁ и х ₂), удовлетворяющий системе ограничений (2), при котором целевая функция (1) принимает максимальное значение.

Создадим соответствующую компьютерную модель в Ехсеl (рис. 7).

Рис. 7. Планирование производства

Теперь можно изменять значения ячеек C9:D9 и анализировать изменение требуемых ресурсов (G3:G6) и ожидаемой прибыли (G7). При запуске надстройки «Поиск решения» появляется диалоговое окно, в котором следует задать адрес целевой ячейки (G7), изменяемых ячеек (C9:D9), добавить ограничения (рис. 8).

Рис. 8. Задание исходных данных для окна Поиск решения

Можно уточнить модель, задав параметры поиска решения – неотрицательные значения (рис. 9). В таблице 2 приведено описание элементов этого окна. Следует отметить, что значения и состояния элементов управления, используемые по умолчанию, обычно достаточны для решения большинства задач.

Рис. 9. Задание параметров поиска решений

О результатах поиска решения можно узнать в появляющемся после выполнения расчётов окне (рис. 10).

При этом полученные численные значения оптимального плана будут находиться в изменяемых ячейках рабочего листа. В нашем случае это 6 и 4 единицы продукции П1 и П2.

Рис. 10. Результаты поиска решений

Таблица 2

Название	Описание
Поле Максимальное время	Определяет время, отпускаемое на решение задачи
Поле Предельное число итераций	Позволяет ограничить число промежуточных вычислений
Поле Относительная погрешность	Задает точность выполнения ограничений. Чем ближе значение к 1, тем ниже точность
Поле Допустимое отклонение	Служит для указания значения отклонения от оптимального решения (используется в задачах с целочисленными ограничениями)
Поле Сходимость	Когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа, указанного в поле Сходимость, поиск прекращается. Сходимость применяется только к нелинейным задачам
Флажок Линейная модель	Используется для поиска решения задач, в которых отсутствуют нелинейные зависимости. Нелинейные зависимости возникают при умножении одних изменяемых ячеек (переменных величин) на другие
Флажок Автоматическое масштабирование	Позволяет включить автоматическую нормализацию входных и выходных значений, качественно различающихся по величине, например, минимизация расходов в процентах по отношению к стоимостям, представленным в тысячах рублей
Флажок Показывать результаты итераций	Может быть использован для просмотра процесса нахождения решения
Группы Оценки, Разности, Метод поиска	Служат для выбора метода экстраполяции, метода численного дифференцирования и алгоритма оптимизации соответственно

Планирование закупок (рациона, задача о смесях)

Имеется два вида корма К1 и К2, содержащие питательные вещества (витамины) В1, В2 и В3. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице 3. Стоимость 1 кг корма К1 и К2 равна 4 и 6 руб. соответственно. Необходимо составить план закупок (дневной рацион), имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее установленного предела.

Таблица 3

Питательное вещество (витамин)	Необходимый минимум питательных веществ	Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
К1	К2
В 1
В 2
В 3

Решение. За параметры х ₁ и х ₂ принимаем планируемое (изменяемое) количество кормов К1 и К2. Целевая функция F (суммарная стоимость обоих видов кормов) определится следующей формулой:

F= 4 x ₁ + 6 x ₂. (3)

Ограничения по количеству питательных веществ выразятся системой неравенств:

(4)

Рис. 11. Компьютерная модель в Ехсеl

Параметры поиска решения аналогичны предыдущей задаче. Главное отличие – установить целевую ячейку не максимальному, а минимальному значению. После выполнения поиска решения количества кормов К1 и К2 должны получиться значения 2 и 3 соответственно.

Дата добавления: 2015-06-26