Практическая часть. Для определения объема производства на максимальный период упреждения воспользуемся производственной функцией Кобба – Дугласа (ПФКД) с автономным темпом

Для определения объема производства на максимальный период упреждения воспользуемся производственной функцией Кобба – Дугласа (ПФКД) с автономным темпом технического прогресса:

Y = a₀ ∙ e^γt ∙ L^α ∙ K^β,

где Y – величина общественного продукта (в нашем случае валовая

продукция отрасли);

a₀ – свободный член;

γ – автономный темп технического прогресса;

t – время;

L – затраты труда (среднесписочная численность занятых);

К – затраты капитала (стоимость основных производственных фондов);

α и β – коэффициенты эластичности.

Путем логарифмирования обеих частей данную степенную модель приведем к линейному виду:

ln Y = ln a₀ + γt + α ln L + β ln K.

Проведем замену некоторых переменных: ln a₀ = b₀, β = 1 – α (из начального условия α + β = 1).

Получим новое уравнение:

ln Y = b₀ + γt + α ln L + ln K – α ln K,

или ln Y = b₀ + γt + α ln (L/K) + ln K.

Для расчета параметров полученного уравнения применим метод наименьших квадратов (МНК). Главным условием МНК является условие:

E = ∑(ln Y_ф – ln Y_т)² → min,

или E = ∑(ln Y_ф – b₀ - γt - α ln (L/K) - ln K)² → min.

Продифференцируем это условие по каждому из неизвестных параметров. В результате получаем систему уравнений:

δE / δb₀ = -2∑(ln Y - b₀ - γt - α ln (L/K) - ln K) = 0;

δE / δγ = -2∑(ln Y - b₀ - γt - α ln (L/K) - ln K) ∙ t = 0;

δE / δα = -2∑(ln Y - b₀ - γt - α ln (L/K) - ln K) ∙ ln (L/K) = 0.

Раскрыв скобки и выполнив преобразования, получим следующую систему уравнений:

nb₀ + γ∑t + α∑ln (L/K) + ∑ln K = ∑ln Y;

b₀∑t + γ∑t² + α∑t ln (L/K) + ∑t ln K = ∑t ln Y;

b₀∑ln (L/K) + γ∑t ln (L/K) + α∑ln² (L/K) + ∑ln K ln (L/K) = ∑ln Y ln (L/K).

На основе полученной системы уравнений можно рассчитать параметры производственной функции.

Промежуточные расчеты представлены в таблице 1.

После подстановки суммарных значений из технологической таблицы получили следующую систему уравнений:

10b₀ + 55γ – 60,8436α + 117,6742 = 114,5999;

55b₀ + 385γ – 320,669α + 632,5651 = 628,0585;

-60,8436b₀ – 320,669γ + 372,891α – 718,703624 = -697,8025998;

или 10b₀ + 55γ – 60,8436α = -3,0743;

55b₀ + 385γ – 320,669α = -4,5066;

-60,8436b₀ – 320,669γ + 372,891α = 20,90103.

Решим данную систему с помощью формул Крамера:

b₀ = ∆_b0 / ∆; γ = ∆_γ / ∆; α = ∆_α / ∆.

b₀ = 244,2812 / 272,8904 = 0,8952;

γ = 27,6556 / 272,8904 = 0,1013;

α = 78,93709 / 272,8904 = 0,2893.

Таблица 1 – Технологическая таблица для расчета параметров производственной функции

t	Y	L	K	L/K	ln (L/K)	ln K	ln Y	t^2	t ∙ ln (L/K)	t ∙ ln K	t ∙ ln Y	ln^2(L/K)	ln K∙ln(L/K)	ln Y∙ln (L/K)
		319,9		0,000911	-7,00134	12,76935	11,74126		-7,00134	12,76935	11,74126	49,01879	-89,4025865	-82,20459947
		296,2		0,001241	-6,69217	12,3832	11,63801		-13,3843	24,7664	23,27601	44,78509	-82,8704489	-77,88347761
		286,4		0,001461	-6,52854	12,18593	11,59517		-19,5856	36,55779	34,78551	42,62186	-79,5563601	-75,6995435
		265,4		0,001462	-6,52805	12,10929	11,37953		-26,1122	48,43715	45,51812	42,61541	-79,0500058	-74,28612883
				0,00249	-5,99545	11,72879	11,22866		-29,9773	58,64397	56,14332	35,94546	-70,3194409	-67,32093235
		313,3	91557,9	0,003422	-5,67757	11,42473	11,34165		-34,0654	68,54836	68,0499	32,23475	-64,8646365	-64,39296613
		305,8	84571,9	0,003616	-5,62243	11,34536	11,31953		-39,357	79,4175	79,23674	31,61167	-63,7884326	-63,64324769
		300,6	80889,1	0,003716	-5,59505	11,30083	11,40216		-44,7604	90,40667	91,21729	31,30463	-63,2287772	-63,7957079
		282,8	76800,5	0,003682	-5,60423	11,24897	11,44902		-50,438	101,2407	103,0411	31,40735	-63,0417557	-64,16287926
		264,8		0,003703	-5,59874	11,17772	11,50492		-55,9874	111,7772	115,0492	31,34593	-62,5811795	-64,41311705
∑
	-	-	-	-	-60,8436	117,6742	114,5999		-320,669	632,5651	628,0585	372,891	-718,703624	-697,8025998

10 55 -60,8436

∆ = 55 385 -320,669 = 10 ∙ 385 ∙ 372,891 + 55 ∙ (-320,669) ∙ (-60,8436) + 55 ∙ (-320,669) ∙ (-60,8436) -

-60,8436 -320,669 372,891

- (385 ∙ (-60,8436) ∙ (-60,8436)) – (55 ∙ 55 ∙ 372,891) – (10 ∙ (-320,669) ∙ (-320,669)) = 272,8904;

Аналогично рассчитываем остальные определители матриц:

-3,0743 55 -60,8436 10 -3,0743 -60,8436

∆_b0 = -4,5066 385 -320,669 = 244,2812; ∆_γ = 55 -4,5066 -320,669 = 27,6556;

20,90103 -320,669 372,891 -60,8436 20,90103 372,891

10 55 -3,0743

∆_α = 55 385 -4,5066 = 78,93709.

-60,8436 -320,669 20,90103

Вернемся к замене ln a₀ = b₀ = 0,8952, то есть a₀ = e^b0 = 2,447825, а также β = 1 – α, то есть β = 1 – 0,2893 = 0,7107.

Таким образом, производственная функция для нашего случая имеет следующий вид:

Y = 2,447825 ∙ e^{0,1013 ∙ t} ∙ L^0,2893 ∙ К^0,7107.

Для производственной функции Кобба – Дугласа параметры α и β являются коэффициентами частной эластичности объема производства по труду и капиталу соответственно, то есть Э_L = α, Э_K = β. Следовательно, на основании значений параметров можно сделать вывод об уровне экономического развития отраслей Курской области и о перспективах их экономического роста.

Таким образом, при увеличении только среднесписочной численности занятых на 1 % валовая продукция всех отраслей Курской области увеличится на 0,2893 %. А при увеличении только среднегодовой стоимости основных производственных фондов на 1 % валовая продукция отраслей Курской области увеличится на 0,7107 %.

Темп прироста валовой продукции благодаря техническому прогрессу составляет 0,1013.

Логарифмируя, а затем дифференцируя по t модифицированную ПФКД, можно получить соотношение между темпами прироста валового выпуска отраслей (P_Y) и темпами прироста основных факторов производства (труда (P_L) и капитала (P_K)):

P_Y = γ + α ∙ P_L + β ∙ P_K.

Таким образом, зависимость темпов прироста валового выпуска отраслей Курской области от темпов прироста труда (среднесписочной численности занятых) и капитала (стоимости ОПФ) имеет следующий вид:

P_Y = 0,1013 + 0,2893 ∙ P_L + 0,7107 ∙ P_K.

Используя полученную ПФКД, составим уравнение стоимости основных фондов, производительности труда и фондовооруженности.

Итак, уравнение стоимости основных фондов имеет следующий вид:

К = (Y / (a₀ ∙ e^γt ∙ L^α))^{1 / β},

или К = (Y / (2,447825 ∙ e^0,1013∙t ∙ L^0,2893 ))^{1 / 0,7107}.

Производительность труда можно определить по следующей формуле:

ПТ = Y / L = (a₀ ∙ e^γt ∙ L^α ∙ K^β) / L = a₀ ∙ e^γt ∙ L^α-1 ∙ K^β,

или ПТ = 2,447825 ∙ e^0,1013∙t ∙ L^-0,7107 ∙ К^0,7107.

Фондовооруженность можно определить по следующей формуле:

Ф = K / L = (Y / (a₀ ∙ e^γt ∙ L^α))^{1 / β} / L = Y^{1 / β} ∙ L^-1 / (a₀^{1 / β} ∙ e^{γt / β} ∙ L^{α / β}) =

= Y^{1 / β} ∙ L^{-1 - α / β} ∙ a₀ ^{-1 / β} ∙ e^{-γt / β},

или Ф = K / L = Y^1,4071 ∙ L^-1,4071 ∙ a₀ ^-1,4071 ∙ e^{-0,1013 ∙ t / 0,7107}.

Проверим адекватность полученной модели производственной функции Y = 2,447825 ∙ e^0,1013∙t ∙ L^0,2893 ∙ К^0,7107 на основе следующих показателей:

- средней ошибки аппроксимации:

А = 1/n ∙∑|(y – y_t) / y| ∙ 100%, (t = 1,2,…,n),

где y– фактические значения показателей;

y_t– теоретические значения показателей;

n– число наблюдений;

- коэффициента детерминации:

R² = 1 – [∑(y - y_t)² / ∑(y – y_ср.)²], (t = 1,2,…n),

где y– фактические значения показателей;

y_t - теоретические значения показателей;

y_ср– среднее фактических значений показателей;

n– число наблюдений.

Промежуточные вычисления для определения показателей адекватности модели представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Технологическая таблица расчета показателей адекватности производственной функции Y = 2,447825 ∙ e^0,1013∙t ∙ L^0,2893 ∙ К^0,7107

Y	t	L	K	Yt	Y - Yt	|Y – Yt|	|Y – Yt| / Y	(Y - Yt)^2	Y - Yср	(Y - Yср)^2
		319,9		125537,8	113,2271	113,2271	0,000901	12820,37863	29699,2
		296,2		103255,1	10068,93	10068,93	0,088851	101383310,8	17372,2
		286,4		98353,55	10218,45	10218,45	0,094117	104416728,5	12620,2
		265,4			-13311	13311,01	0,152105	177183012,7	-8439,8
				88966,03	-13709	13709,03	0,182163	187937391,1	-20694,8
		313,3	91557,9	79634,84	4624,159	4624,159	0,05488	21382849,08	-11692,8
		305,8	84571,9	82709,47	-293,468	293,4679	0,003561	86123,40557	-13535,8
		300,6	80889,1	88237,31	1277,692	1277,692	0,014273	1632496,631	-6436,8	41432394,2
		282,8	76800,5	92462,98	1346,024	1346,024	0,014349	1811781,696	-2142,8	4591591,84
		264,8		95435,11	3767,894	3767,894	0,037982	14197024,38	3251,2	10570301,4
							∑ = 0,643181	∑ = 610043538,6		∑ = 2219143974

Итак, средняя ошибка аппроксимации равна:

А = 1/n ∙∑|(y – y_t) / y| ∙ 100% = 1/10 ∙ 0,643181 ∙ 100% = 6,43 %.

Коэффициент детерминации равен:

R² = 1 – [∑(y - y_t)² / ∑(y – y_ср.)²] = 1 – (610043538,6 / 2219143974) = 0,7251.

Средняя ошибка аппроксимации А = 6,43%, т.е. А < 12%, свидетельствует об адекватности функции реальным условиям; коэффициент детерминации R² = 0,7251 также подтверждает адекватность модели. Таким образом, полученная модель производственной функции Y = 2,447825 ∙ e^0,1013∙t ∙ L^0,2893 ∙ К^0,7107 адекватна реальным условиям, статистически достоверна, ее можно использовать для прогнозирования валового выпуска отраслей Курской области.

Вывод: применив метод наименьших квадратов, рассчитали параметры модифицированной производственной функции Кобба – Дугласа для итогового производства товаров по всем отраслям Курской области, проверили полученную модель на адекватность. Используя производственную функцию, получили прогнозные значения валового выпуска на максимальный период упреждения (3 года), предварительно рассчитав прогнозные значения основных факторов производства (стоимости ОПФ и среднесписочной численности занятых) с помощью метода экстраполяции тренда.

Дата добавления: 2015-06-26