Критерий Сильвестра

1. Квадратичная форма положительно определена, если все главные миноры матрицы (1) являются положительными. В этом случае в точке – минимум.

2. Квадратичная форма отрицательно определена, если все главные миноры нечетного порядка являются отрицательными, а четного порядка – положительными. В этом случае в точке – максимум.

В частном случае функции двух переменных достаточные условия существования строгого экстремума можно сформулировать следующим образом.

Теорема 2* (достаточные условия существования экстремума функции двух переменных)

Пусть функция в стационарной точке имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Если , , и , то возможны три случая:

1) при – точка экстремума, причем, в точке максимум, когда , и минимум, когда ;

2) при не является точкой экстремума;

3) при о характере стационарной точки никакого заключения сделать нельзя, нужны дополнительные исследования.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем стационарные точки функции. Для этого вычислим первые частные производные:

Приравнивая их к нулю, получим систему

Решениями системы являются две стационарные точки: и . Для выяснения их характера согласно теореме 2* найдем и , вычислив предварительно значения частных производных второго порядка.

Для точки имеем , , и . На основании теоремы 2* делаем вывод, что в точке функция экстремума не имеет. Для точки соответственно получаем

, , , .

Следовательно – точка экстремума, а поскольку , то – точка максимума и максимальное значение функции .

Пример 3. Найти локальные экстремумы функции

.

Дата добавления: 2015-06-04