Искажения поверхности на картах

Классификация проекций по виду нормальной сетки

Проекции часто классифицируют по виду вспомогательной геометрической поверхности, которая может быть использована при их построении. Выделяют цилиндрические, конические и азимутальные проекции.

Цилиндрические проекции:

Заключим шар в цилиндр, касательный по экватору. Продолжим плоскости меридианов и примем пересечения этих плоскостей с боковой поверхностью цилиндра за изображение на ней меридианов. Если разрезать боковую поверхность цилиндра по любой образующей и развернуть ее на плоскость, то меридианы изобразятся параллельными равноотстоящими прямыми линиями, перпендикулярными экватору. Нормальная цилиндрическая проекция (ось цилиндра совпадает с осью вращения Земли) удобна для изображения территорий, близких к экватору.

Если параллели получать продолжением плоскостей параллелей на шаре до пересечения с поверхностью цилиндра, то они также будут иметь вид параллельных прямых линий, перпендикулярных меридианам. Такая проекция будет равновеликой цилиндрической (Гетерс, Германия). Здесь масштабы увеличиваются по параллели и уменьшаются по меридиану по мере удаления от экватора.

Для равноугольной цилиндрической проекции необходимо в любой точке постоянство масштаба по всем направлениям, что требует увеличения масштаба вдоль меридианов по мере удаления от экватора в соответствии с увеличением масштабов вдоль параллелей на соответствующих широтах. Такая проекция удобна для навигации – параллели и меридианы пересекаются под углом 90°, прямая линия на карте точно соответствует направлению.

Если сохранять длины всех меридианов, то получится проекция цилиндрическая, равнопромежуточная по меридианам.

Нередко вместо касательного цилиндра используют цилиндр, секущий шар по двум параллелям. В этом случае масштабы вдоль всех параллелей между параллелями сечения будут меньше, а на остальных параллелях – больше.

Помимо нормальной, существует ряд других цилиндрических проекций. Например, поперечная цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера (для узких, меридианально вытянутых областей), косая цилиндрическая проекция, косо секущая проекция и т.д.

Конические проекции:

Поверхность шара проектируется на конус, касающийся шара по некоторой параллели. Плоскости меридианов также продолжаются до пересечения с боковой поверхностью конуса. После развертки они изобразятся радиальными прямыми, причем углы будут пропорциональны (но не равны) разнице долгот.

Параллели будут иметь вид концентрических окружностей. Положение всех параллелей, кроме параллели касания, можно определить исходя из разных условий. Если, например, сохранять масштаб вдоль меридианов, то получится коническая равнопромежуточная проекция.

Конические проекции используются для изображения вытянутых по широте территорий, лежащих в средних широтах, например, США, России, Канады.

Если располагать конус по-другому, то можно получить поперечную, косую и др. конические проекции.

Азимутальные проекции:

Азимутальные проекции подразумевают проектирование поверхности Земли на плоскость. Для получения нормальной азимутальной проекции плоскость располагают перпендикулярно оси вращения Земли. Пересечения плоскостей меридианов с касательной плоскостью дают изображение меридианов в виде прямых, углы между которыми равны разности долгот. Параллели являются концентрическими окружностями, проведенными разными способами. Нормальная азимутальная проекция применяется для изображения Арктики и Антарктики.

Если плоскость располагать перпендикулярно плоскости экватора, то получится поперечная азимутальная проекция. Она используется для составления карт полушарий. Косая азимутальная проекция (плоскость располагается под углом к плоскости экватора, она касательная или секущая) применяется для изображения изометричных территорий (например, Франции, Румынии).

По виду нормальной сетки также различают проекции:

- пседоцилиндрические – параллели прямые, параллельные друг другу, а меридианы – кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана (проектирование на «бочку») – для карт мира;

- псевдоконические – параллели – дуги концентрических окружностей, а меридианы – кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана;

- поликонические – параллели - дуги эксцентрических окружностей с центрами на среднем прямолинейном меридиане, а меридианы – кривые, симметричные относительно среднего меридиана.

Поверхность эллипсоида нельзя развернуть на плоскость, поэтому непрерывность и однозначность изображения достигаются как бы за счет неравномерного растяжения или сжатия, т.е. деформации поверхности при совмещении ее с плоскостью.

Бесконечно малая окружность на поверхности эллипсоида в общем случае изображается на плоскости эллписом, называемым эллипсом искажений. Это означает, что масштаб зависит не только от положения точки, но может изменяться в данной точке с переменой направления. Различают главный масштаб, равный масштабу модели земного эллипсоида, и прочие масштабы, называемые частными.

Частный масштаб определяется как отношение бесконечно малого отрезка ds на карте к соответствующему ему отрезку на поверхности эллипсоида. Обозначим величину этого отрезка в главном масштабе через dS. Отношение этих величин m (отношение частного масштаба к главному) характеризует искажение длин:

m = ds/dS.

Искажение длин обычно оцениваются в процентах. В эллипсе искажений наибольший масштаб совпадает с направлением большой оси эллипса, а наименьший – с направлением мало оси. Эти масштабы по главным направлениям, выраженные в отношении к главному масштабу, обозначают соответственно через a и b.

Искажением площади в некоторой точки карты называют отношение площади эллипса искажений dP¢ к площади dP соответствующего бесконечно малого круга на эллипсоиде, обозначаемое через р:

p = dP¢/dP.

Искажение угла – разность между углом, образованным двумя линиями на эллипсоиде, и изображением этого угла на карте. Величина искажения углов в данной точке характеризуется наибольшим значением этой разности w (в абсолютных единицах – градусах).

Искажение форм характеризуется отношением а/b.

Проекций, лишенных искажения длин, нет, поскольку подобие и пропорциональность всех частей земной поверхности сохранить не возможно. Проекции, передающие величины углов без искажения, называются равноугольными (в каждой точке масштаб одинаков по всем направлениям, но он меняется от точки к точке).

Равновеликие проекции сохраняют площади (эллипсы искажения везду имеют одинаковую площадь), но сильно нарушают подобие фигур (вытянутость эллипсов искажения разная).

Проекция не может быть одновременно равноугольной и равновеликой. Чем больше искажение площадей, тем меньше искажение углов, и наоборот. Среди произвольных проекций (ни равновеликие, ни равноугольные) выбирают равнопромежуточные, в которых масштаб по одному из главных направлений – постоянная величина.

В любой проекции существуют отдельные точки или линии (или системы линий), в которых отсутствуют искажения отдельных или всех видов. Их называют точками и линиями нулевых искажений. По мере удаления от них искажения нарастают. Линии на карте, соединяющие точки с одинаковыми значениями искажений площадей и углов, называются изоколами.

Дата добавления: 2015-06-04